Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17127 / 16358
↖ ↑ ↗
← N  0.285644°
E  8.162842°		 ← 1 221.56 m → N  0.285644°
E  8.173828°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.274657°
E  8.162842°		 ← 1 221.56 m →
1 492 307 m²		 N  0.274657°
E  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522689819335938 y=0.499221801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522689819335938 × 215)
    floor (0.522689819335938 × 32768)
    floor (17127.5)     		tx = 17127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499221801757812 × 215)
    floor (0.499221801757812 × 32768)
    floor (16358.5)     		ty = 16358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17127 / 16358 ti = "15/17127/16358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17127/16358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17127 ÷ 215
    17127 ÷ 32768     		x = 0.522674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16358 ÷ 215
    16358 ÷ 32768     		y = 0.49920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522674560546875 × 2 - 1) × π
    0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49920654296875 × 2 - 1) × π
    0.0015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14246847} λ = 0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00498543756048584))-π/2
    2×atan(1.00499788553192)-π/2
    2×0.787890871851839-π/2
    1.57578174370368-1.57079632675     		φ = 0.00498542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00498542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.285644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17127 KachelY 16358 0.14246847 0.00498542 8.162842 0.285644
    Oben rechts KachelX + 1 17128 KachelY 16358 0.14266021 0.00498542 8.173828 0.285644
    Unten links KachelX 17127 KachelY + 1 16359 0.14246847 0.00479367 8.162842 0.274657
    Unten rechts KachelX + 1 17128 KachelY + 1 16359 0.14266021 0.00479367 8.173828 0.274657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00498542-0.00479367) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00498542-0.00479367) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14246847-0.14266021) × cos(0.00498542) × R
    0.000191739999999996 × 0.999987572819451 × 6371000     		do = 1221.56035926018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14246847-0.14266021) × cos(0.00479367) × R
    0.000191739999999996 × 0.999988510385967 × 6371000     		du = 1221.56150456851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00498542)-sin(0.00479367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999987572819451-0.999988510385967)×R²
    abs(0.14266021-0.14246847)×9.37566516423516e-07×R²
    0.000191739999999996×9.37566516423516e-07×6371000²
    0.000191739999999996×9.37566516423516e-07×40589641000000     		ar = 1492306.78526558m²