Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1712 / 1903
↖ ↑ ↗
← S 82.285331°
E120.937500°		 ← 2 623.86 m → S 82.285331°
E121.113281°		 →
↑
2 619.88 m
↓
↑
2 619.88 m
↓
S 82.308893°
E120.937500°		 ← 2 615.89 m →
6 863 766 m²		 S 82.308893°
E121.113281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836181640625 y=0.929443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836181640625 × 211)
    floor (0.836181640625 × 2048)
    floor (1712.5)     		tx = 1712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929443359375 × 211)
    floor (0.929443359375 × 2048)
    floor (1903.5)     		ty = 1903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1712 / 1903 ti = "11/1712/1903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1712/1903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1712 ÷ 211
    1712 ÷ 2048     		x = 0.8359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1903 ÷ 211
    1903 ÷ 2048     		y = 0.92919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8359375 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92919921875 × 2 - 1) × π
    -0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11075756} λ = 2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69673822502588))-π/2
    2×atan(0.0674250798939839)-π/2
    2×0.0673231830433996-π/2
    0.134646366086799-1.57079632675     		φ = -1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1712 KachelY 1903 2.11075756 -1.43614996 120.937500 -82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 1713 KachelY 1903 2.11382553 -1.43614996 121.113281 -82.285331
    Unten links KachelX 1712 KachelY + 1 1904 2.11075756 -1.43656118 120.937500 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 1713 KachelY + 1 1904 2.11382553 -1.43656118 121.113281 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43614996--1.43656118) × R
    0.000411219999999934 × 6371000     		dl = 2619.88261999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43614996--1.43656118) × R
    0.000411219999999934 × 6371000     		dr = 2619.88261999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11075756-2.11382553) × cos(-1.43614996) × R
    0.00306797000000003 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 2623.85778043863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11075756-2.11382553) × cos(-1.43656118) × R
    0.00306797000000003 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 2615.89258803342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43614996)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.133832377654437)×R²
    abs(2.11382553-2.11075756)×0.0004075093308267×R²
    0.00306797000000003×0.0004075093308267×6371000²
    0.00306797000000003×0.0004075093308267×40589641000000     		ar = 6863765.55847597m²