Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17119 / 16287
↖ ↑ ↗
← N  1.065612°
E  8.074951°		 ← 1 221.43 m → N  1.065612°
E  8.085937°		 →
↑
1 221.38 m
↓
↑
1 221.38 m
↓
N  1.054628°
E  8.074951°		 ← 1 221.43 m →
1 491 836 m²		 N  1.054628°
E  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522445678710938 y=0.497055053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522445678710938 × 215)
    floor (0.522445678710938 × 32768)
    floor (17119.5)     		tx = 17119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497055053710938 × 215)
    floor (0.497055053710938 × 32768)
    floor (16287.5)     		ty = 16287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17119 / 16287 ti = "15/17119/16287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17119/16287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17119 ÷ 215
    17119 ÷ 32768     		x = 0.522430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16287 ÷ 215
    16287 ÷ 32768     		y = 0.497039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522430419921875 × 2 - 1) × π
    0.04486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14093448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497039794921875 × 2 - 1) × π
    0.00592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0185995170525818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14093448} λ = 0.14093448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0185995170525818))-π/2
    2×atan(1.01877356546744)-π/2
    2×0.794697385773877-π/2
    1.58939477154775-1.57079632675     		φ = 0.01859844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14093448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01859844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.065612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17119 KachelY 16287 0.14093448 0.01859844 8.074951 1.065612
    Oben rechts KachelX + 1 17120 KachelY 16287 0.14112623 0.01859844 8.085937 1.065612
    Unten links KachelX 17119 KachelY + 1 16288 0.14093448 0.01840673 8.074951 1.054628
    Unten rechts KachelX + 1 17120 KachelY + 1 16288 0.14112623 0.01840673 8.085937 1.054628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01859844-0.01840673) × R
    0.000191710000000001 × 6371000     		dl = 1221.38441000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01859844-0.01840673) × R
    0.000191710000000001 × 6371000     		dr = 1221.38441000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14093448-0.14112623) × cos(0.01859844) × R
    0.000191749999999991 × 0.999827054000066 × 6371000     		do = 1221.42797237829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14093448-0.14112623) × cos(0.01840673) × R
    0.000191749999999991 × 0.999830600928244 × 6371000     		du = 1221.43230544497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01859844)-sin(0.01840673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999827054000066-0.999830600928244)×R²
    abs(0.14112623-0.14093448)×3.54692817761126e-06×R²
    0.000191749999999991×3.54692817761126e-06×6371000²
    0.000191749999999991×3.54692817761126e-06×40589641000000     		ar = 1491835.7341399m²