Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17112 / 16312
↖ ↑ ↗
← N  0.790991°
E  7.998047°		 ← 1 221.52 m → N  0.790991°
E  8.009033°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
N  0.780005°
E  7.998047°		 ← 1 221.53 m →
1 492 107 m²		 N  0.780005°
E  8.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522232055664062 y=0.497817993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522232055664062 × 215)
    floor (0.522232055664062 × 32768)
    floor (17112.5)     		tx = 17112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497817993164062 × 215)
    floor (0.497817993164062 × 32768)
    floor (16312.5)     		ty = 16312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17112 / 16312 ti = "15/17112/16312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17112/16312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17112 ÷ 215
    17112 ÷ 32768     		x = 0.522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16312 ÷ 215
    16312 ÷ 32768     		y = 0.497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522216796875 × 2 - 1) × π
    0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    0.00439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0138058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13959225} λ = 0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0138058270905762))-π/2
    2×atan(1.01390156760638)-π/2
    2×0.79230085766964-π/2
    1.58460171533928-1.57079632675     		φ = 0.01380539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01380539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.790991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17112 KachelY 16312 0.13959225 0.01380539 7.998047 0.790991
    Oben rechts KachelX + 1 17113 KachelY 16312 0.13978400 0.01380539 8.009033 0.790991
    Unten links KachelX 17112 KachelY + 1 16313 0.13959225 0.01361366 7.998047 0.780005
    Unten rechts KachelX + 1 17113 KachelY + 1 16313 0.13978400 0.01361366 8.009033 0.780005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01380539-0.01361366) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dl = 1221.51183000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01380539-0.01361366) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dr = 1221.51183000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13959225-0.13978400) × cos(0.01380539) × R
    0.000191749999999991 × 0.999904707116968 × 6371000     		do = 1221.52283647378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13959225-0.13978400) × cos(0.01361366) × R
    0.000191749999999991 × 0.999907335561854 × 6371000     		du = 1221.52604748522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01380539)-sin(0.01361366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999904707116968-0.999907335561854)×R²
    abs(0.13978400-0.13959225)×2.62844488596592e-06×R²
    0.000191749999999991×2.62844488596592e-06×6371000²
    0.000191749999999991×2.62844488596592e-06×40589641000000     		ar = 1492106.56108299m²