Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17109 / 16341
↖ ↑ ↗
← N  0.472407°
E  7.965088°		 ← 1 221.60 m → N  0.472407°
E  7.976074°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
N  0.461421°
E  7.965088°		 ← 1 221.60 m →
1 492 275 m²		 N  0.461421°
E  7.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522140502929688 y=0.498703002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522140502929688 × 215)
    floor (0.522140502929688 × 32768)
    floor (17109.5)     		tx = 17109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498703002929688 × 215)
    floor (0.498703002929688 × 32768)
    floor (16341.5)     		ty = 16341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17109 / 16341 ti = "15/17109/16341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17109/16341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17109 ÷ 215
    17109 ÷ 32768     		x = 0.522125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16341 ÷ 215
    16341 ÷ 32768     		y = 0.498687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522125244140625 × 2 - 1) × π
    0.04425048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13901701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498687744140625 × 2 - 1) × π
    0.00262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13901701} λ = 0.13901701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00824514673464966))-π/2
    2×atan(1.00827923157074)-π/2
    2×0.789520690055131-π/2
    1.57904138011026-1.57079632675     		φ = 0.00824505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13901701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00824505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.472407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17109 KachelY 16341 0.13901701 0.00824505 7.965088 0.472407
    Oben rechts KachelX + 1 17110 KachelY 16341 0.13920876 0.00824505 7.976074 0.472407
    Unten links KachelX 17109 KachelY + 1 16342 0.13901701 0.00805331 7.965088 0.461421
    Unten rechts KachelX + 1 17110 KachelY + 1 16342 0.13920876 0.00805331 7.976074 0.461421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00824505-0.00805331) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dl = 1221.57554000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00824505-0.00805331) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dr = 1221.57554000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13901701-0.13920876) × cos(0.00824505) × R
    0.000191749999999991 × 0.999966009767806 × 6371000     		do = 1221.59772619818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13901701-0.13920876) × cos(0.00805331) × R
    0.000191749999999991 × 0.999967572274283 × 6371000     		du = 1221.59963501742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00824505)-sin(0.00805331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999966009767806-0.999967572274283)×R²
    abs(0.13920876-0.13901701)×1.56250647653788e-06×R²
    0.000191749999999991×1.56250647653788e-06×6371000²
    0.000191749999999991×1.56250647653788e-06×40589641000000     		ar = 1492275.07249862m²