Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17108 / 16340
↖ ↑ ↗
← N  0.483392°
E  7.954101°		 ← 1 221.60 m → N  0.483392°
E  7.965088°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
N  0.472407°
E  7.954101°		 ← 1 221.60 m →
1 492 273 m²		 N  0.472407°
E  7.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522109985351562 y=0.498672485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522109985351562 × 215)
    floor (0.522109985351562 × 32768)
    floor (17108.5)     		tx = 17108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498672485351562 × 215)
    floor (0.498672485351562 × 32768)
    floor (16340.5)     		ty = 16340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17108 / 16340 ti = "15/17108/16340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17108/16340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17108 ÷ 215
    17108 ÷ 32768     		x = 0.5220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16340 ÷ 215
    16340 ÷ 32768     		y = 0.4986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    0.002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13882526} λ = 0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00843689433312988))-π/2
    2×atan(1.00847258522895)-π/2
    2×0.789616560519225-π/2
    1.57923312103845-1.57079632675     		φ = 0.00843679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00843679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.483392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17108 KachelY 16340 0.13882526 0.00843679 7.954101 0.483392
    Oben rechts KachelX + 1 17109 KachelY 16340 0.13901701 0.00843679 7.965088 0.483392
    Unten links KachelX 17108 KachelY + 1 16341 0.13882526 0.00824505 7.954101 0.472407
    Unten rechts KachelX + 1 17109 KachelY + 1 16341 0.13901701 0.00824505 7.965088 0.472407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00843679-0.00824505) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00843679-0.00824505) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13882526-0.13901701) × cos(0.00843679) × R
    0.000191749999999991 × 0.999964410498352 × 6371000     		do = 1221.59577246784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13882526-0.13901701) × cos(0.00824505) × R
    0.000191749999999991 × 0.999966009767806 × 6371000     		du = 1221.59772619818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00843679)-sin(0.00824505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999964410498352-0.999966009767806)×R²
    abs(0.13901701-0.13882526)×1.59926945442201e-06×R²
    0.000191749999999991×1.59926945442201e-06×6371000²
    0.000191749999999991×1.59926945442201e-06×40589641000000     		ar = 1492272.71330057m²