Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1710 / 1942
↖ ↑ ↗
← S 83.153111°
E120.585937°		 ← 2 330.20 m → S 83.153111°
E120.761719°		 →
↑
2 326.69 m
↓
↑
2 326.69 m
↓
S 83.174035°
E120.585937°		 ← 2 323.12 m →
5 413 414 m²		 S 83.174035°
E120.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835205078125 y=0.948486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835205078125 × 211)
    floor (0.835205078125 × 2048)
    floor (1710.5)     		tx = 1710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.948486328125 × 211)
    floor (0.948486328125 × 2048)
    floor (1942.5)     		ty = 1942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1710 / 1942 ti = "11/1710/1942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1710/1942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1710 ÷ 211
    1710 ÷ 2048     		x = 0.8349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1942 ÷ 211
    1942 ÷ 2048     		y = 0.9482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8349609375 × 2 - 1) × π
    0.669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.10462164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9482421875 × 2 - 1) × π
    -0.896484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.81638872647754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.10462164} λ = 2.10462164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.81638872647754))-π/2
    2×atan(0.0598215852092966)-π/2
    2×0.0597503784254095-π/2
    0.119500756850819-1.57079632675     		φ = -1.45129557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.10462164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45129557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.153111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1710 KachelY 1942 2.10462164 -1.45129557 120.585937 -83.153111
    Oben rechts KachelX + 1 1711 KachelY 1942 2.10768960 -1.45129557 120.761719 -83.153111
    Unten links KachelX 1710 KachelY + 1 1943 2.10462164 -1.45166077 120.585937 -83.174035
    Unten rechts KachelX + 1 1711 KachelY + 1 1943 2.10768960 -1.45166077 120.761719 -83.174035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45129557--1.45166077) × R
    0.000365199999999843 × 6371000     		dl = 2326.689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45129557--1.45166077) × R
    0.000365199999999843 × 6371000     		dr = 2326.689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.10462164-2.10768960) × cos(-1.45129557) × R
    0.00306796000000009 × 0.11921653942533 × 6371000     		do = 2330.20327983565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.10462164-2.10768960) × cos(-1.45166077) × R
    0.00306796000000009 × 0.118853935988382 × 6371000     		du = 2323.11584278934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45129557)-sin(-1.45166077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.11921653942533-0.118853935988382)×R²
    abs(2.10768960-2.10462164)×0.000362603436947842×R²
    0.00306796000000009×0.000362603436947842×6371000²
    0.00306796000000009×0.000362603436947842×40589641000000     		ar = 5413413.73354094m²