Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17080 / 16360
↖ ↑ ↗
← N  0.263671°
E  7.646484°		 ← 1 221.63 m → N  0.263671°
E  7.657471°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.252685°
E  7.646484°		 ← 1 221.63 m →
1 492 387 m²		 N  0.252685°
E  7.657471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521255493164062 y=0.499282836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521255493164062 × 215)
    floor (0.521255493164062 × 32768)
    floor (17080.5)     		tx = 17080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499282836914062 × 215)
    floor (0.499282836914062 × 32768)
    floor (16360.5)     		ty = 16360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17080 / 16360 ti = "15/17080/16360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17080/16360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17080 ÷ 215
    17080 ÷ 32768     		x = 0.521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16360 ÷ 215
    16360 ÷ 32768     		y = 0.499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521240234375 × 2 - 1) × π
    0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13345633} λ = 0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00460194236352539))-π/2
    2×atan(1.00461254756221)-π/2
    2×0.787699126457641-π/2
    1.57539825291528-1.57079632675     		φ = 0.00460193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00460193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.263671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17080 KachelY 16360 0.13345633 0.00460193 7.646484 0.263671
    Oben rechts KachelX + 1 17081 KachelY 16360 0.13364808 0.00460193 7.657471 0.263671
    Unten links KachelX 17080 KachelY + 1 16361 0.13345633 0.00441018 7.646484 0.252685
    Unten rechts KachelX + 1 17081 KachelY + 1 16361 0.13364808 0.00441018 7.657471 0.252685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00460193-0.00441018) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00460193-0.00441018) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13345633-0.13364808) × cos(0.00460193) × R
    0.000191749999999991 × 0.999989411138825 × 6371000     		do = 1221.62631423152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13345633-0.13364808) × cos(0.00441018) × R
    0.000191749999999991 × 0.999990275171946 × 6371000     		du = 1221.62736976829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00460193)-sin(0.00441018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989411138825-0.999990275171946)×R²
    abs(0.13364808-0.13345633)×8.64033121050767e-07×R²
    0.000191749999999991×8.64033121050767e-07×6371000²
    0.000191749999999991×8.64033121050767e-07×40589641000000     		ar = 1492387.30361331m²