Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17076 / 16348
↖ ↑ ↗
← N  0.395505°
E  7.602539°		 ← 1 221.61 m → N  0.395505°
E  7.613526°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
N  0.384519°
E  7.602539°		 ← 1 221.61 m →
1 492 290 m²		 N  0.384519°
E  7.613526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521133422851562 y=0.498916625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521133422851562 × 215)
    floor (0.521133422851562 × 32768)
    floor (17076.5)     		tx = 17076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498916625976562 × 215)
    floor (0.498916625976562 × 32768)
    floor (16348.5)     		ty = 16348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17076 / 16348 ti = "15/17076/16348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17076/16348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17076 ÷ 215
    17076 ÷ 32768     		x = 0.5211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16348 ÷ 215
    16348 ÷ 32768     		y = 0.4989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5211181640625 × 2 - 1) × π
    0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4989013671875 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00690291354528809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13268934} λ = 0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00690291354528809))-π/2
    2×atan(1.00692679356862)-π/2
    2×0.788849592759976-π/2
    1.57769918551995-1.57079632675     		φ = 0.00690286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00690286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.395505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17076 KachelY 16348 0.13268934 0.00690286 7.602539 0.395505
    Oben rechts KachelX + 1 17077 KachelY 16348 0.13288109 0.00690286 7.613526 0.395505
    Unten links KachelX 17076 KachelY + 1 16349 0.13268934 0.00671112 7.602539 0.384519
    Unten rechts KachelX + 1 17077 KachelY + 1 16349 0.13288109 0.00671112 7.613526 0.384519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00690286-0.00671112) × R
    0.00019174 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00690286-0.00671112) × R
    0.00019174 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13268934-0.13288109) × cos(0.00690286) × R
    0.000191750000000018 × 0.999976175356513 × 6371000     		do = 1221.61014488052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13268934-0.13288109) × cos(0.00671112) × R
    0.000191750000000018 × 0.999977480518695 × 6371000     		du = 1221.61173931786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00690286)-sin(0.00671112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999976175356513-0.999977480518695)×R²
    abs(0.13288109-0.13268934)×1.30516218144194e-06×R²
    0.000191750000000018×1.30516218144194e-06×6371000²
    0.000191750000000018×1.30516218144194e-06×40589641000000     		ar = 1492290.05083664m²