Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17075 / 16371
↖ ↑ ↗
← N  0.142822°
E  7.591553°		 ← 1 221.64 m → N  0.142822°
E  7.602539°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.131836°
E  7.591553°		 ← 1 221.64 m →
1 492 398 m²		 N  0.131836°
E  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521102905273438 y=0.499618530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521102905273438 × 215)
    floor (0.521102905273438 × 32768)
    floor (17075.5)     		tx = 17075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499618530273438 × 215)
    floor (0.499618530273438 × 32768)
    floor (16371.5)     		ty = 16371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17075 / 16371 ti = "15/17075/16371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17075/16371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17075 ÷ 215
    17075 ÷ 32768     		x = 0.521087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16371 ÷ 215
    16371 ÷ 32768     		y = 0.499603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521087646484375 × 2 - 1) × π
    0.04217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13249759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499603271484375 × 2 - 1) × π
    0.00079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00249271878024292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13249759} λ = 0.13249759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00249271878024292))-π/2
    2×atan(1.00249582818679)-π/2
    2×0.786644521496832-π/2
    1.57328904299366-1.57079632675     		φ = 0.00249272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13249759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.591553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00249272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.142822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17075 KachelY 16371 0.13249759 0.00249272 7.591553 0.142822
    Oben rechts KachelX + 1 17076 KachelY 16371 0.13268934 0.00249272 7.602539 0.142822
    Unten links KachelX 17075 KachelY + 1 16372 0.13249759 0.00230097 7.591553 0.131836
    Unten rechts KachelX + 1 17076 KachelY + 1 16372 0.13268934 0.00230097 7.602539 0.131836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00249272-0.00230097) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00249272-0.00230097) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13249759-0.13268934) × cos(0.00249272) × R
    0.000191749999999991 × 0.99999689317511 × 6371000     		do = 1221.63545458071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13249759-0.13268934) × cos(0.00230097) × R
    0.000191749999999991 × 0.999997352769697 × 6371000     		du = 1221.6360160395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00249272)-sin(0.00230097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999689317511-0.999997352769697)×R²
    abs(0.13268934-0.13249759)×4.59594587942647e-07×R²
    0.000191749999999991×4.59594587942647e-07×6371000²
    0.000191749999999991×4.59594587942647e-07×40589641000000     		ar = 1492398.16803015m²