Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17072 / 16303
↖ ↑ ↗
← N  0.889857°
E  7.558594°		 ← 1 221.49 m → N  0.889857°
E  7.569580°		 →
↑
1 221.45 m
↓
↑
1 221.45 m
↓
N  0.878872°
E  7.558594°		 ← 1 221.50 m →
1 491 991 m²		 N  0.878872°
E  7.569580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521011352539062 y=0.497543334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521011352539062 × 215)
    floor (0.521011352539062 × 32768)
    floor (17072.5)     		tx = 17072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497543334960938 × 215)
    floor (0.497543334960938 × 32768)
    floor (16303.5)     		ty = 16303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17072 / 16303 ti = "15/17072/16303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17072/16303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17072 ÷ 215
    17072 ÷ 32768     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16303 ÷ 215
    16303 ÷ 32768     		y = 0.497528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497528076171875 × 2 - 1) × π
    0.00494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0155315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0155315554768982))-π/2
    2×atan(1.01565279696102)-π/2
    2×0.793163628932647-π/2
    1.58632725786529-1.57079632675     		φ = 0.01553093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01553093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.889857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17072 KachelY 16303 0.13192235 0.01553093 7.558594 0.889857
    Oben rechts KachelX + 1 17073 KachelY 16303 0.13211410 0.01553093 7.569580 0.889857
    Unten links KachelX 17072 KachelY + 1 16304 0.13192235 0.01533921 7.558594 0.878872
    Unten rechts KachelX + 1 17073 KachelY + 1 16304 0.13211410 0.01533921 7.569580 0.878872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01553093-0.01533921) × R
    0.000191719999999999 × 6371000     		dl = 1221.44812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01553093-0.01533921) × R
    0.000191719999999999 × 6371000     		dr = 1221.44812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13211410) × cos(0.01553093) × R
    0.000191750000000018 × 0.999879397530905 × 6371000     		do = 1221.49191729022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13211410) × cos(0.01533921) × R
    0.000191750000000018 × 0.999882356625021 × 6371000     		du = 1221.49553223574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01553093)-sin(0.01533921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999879397530905-0.999882356625021)×R²
    abs(0.13211410-0.13192235)×2.95909411607287e-06×R²
    0.000191750000000018×2.95909411607287e-06×6371000²
    0.000191750000000018×2.95909411607287e-06×40589641000000     		ar = 1491991.21827358m²