Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17068 / 16356
↖ ↑ ↗
← N  0.307616°
E  7.514649°		 ← 1 221.56 m → N  0.307616°
E  7.525634°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.296629°
E  7.514649°		 ← 1 221.56 m →
1 492 304 m²		 N  0.296629°
E  7.525634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520889282226562 y=0.499160766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520889282226562 × 215)
    floor (0.520889282226562 × 32768)
    floor (17068.5)     		tx = 17068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499160766601562 × 215)
    floor (0.499160766601562 × 32768)
    floor (16356.5)     		ty = 16356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17068 / 16356 ti = "15/17068/16356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17068/16356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17068 ÷ 215
    17068 ÷ 32768     		x = 0.5208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16356 ÷ 215
    16356 ÷ 32768     		y = 0.4991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5208740234375 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    0.001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13115536} λ = 0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00536893275744629))-π/2
    2×atan(1.00538337130522)-π/2
    2×0.788082616879444-π/2
    1.57616523375889-1.57079632675     		φ = 0.00536891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00536891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.307616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17068 KachelY 16356 0.13115536 0.00536891 7.514649 0.307616
    Oben rechts KachelX + 1 17069 KachelY 16356 0.13134710 0.00536891 7.525634 0.307616
    Unten links KachelX 17068 KachelY + 1 16357 0.13115536 0.00517716 7.514649 0.296629
    Unten rechts KachelX + 1 17069 KachelY + 1 16357 0.13134710 0.00517716 7.525634 0.296629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00536891-0.00517716) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00536891-0.00517716) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13115536-0.13134710) × cos(0.00536891) × R
    0.000191739999999996 × 0.999985587437326 × 6371000     		do = 1221.55793396594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13115536-0.13134710) × cos(0.00517716) × R
    0.000191739999999996 × 0.9999865985371 × 6371000     		du = 1221.5591691007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00536891)-sin(0.00517716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999985587437326-0.9999865985371)×R²
    abs(0.13134710-0.13115536)×1.01109977401759e-06×R²
    0.000191739999999996×1.01109977401759e-06×6371000²
    0.000191739999999996×1.01109977401759e-06×40589641000000     		ar = 1492303.87729868m²