Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17066 / 16407
↖ ↑ ↗
← S  0.252685°
E  7.492676°		 ← 1 221.63 m → S  0.252685°
E  7.503662°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
S  0.263671°
E  7.492676°		 ← 1 221.63 m →
1 492 387 m²		 S  0.263671°
E  7.503662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520828247070312 y=0.500717163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520828247070312 × 215)
    floor (0.520828247070312 × 32768)
    floor (17066.5)     		tx = 17066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500717163085938 × 215)
    floor (0.500717163085938 × 32768)
    floor (16407.5)     		ty = 16407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17066 / 16407 ti = "15/17066/16407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17066/16407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17066 ÷ 215
    17066 ÷ 32768     		x = 0.52081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16407 ÷ 215
    16407 ÷ 32768     		y = 0.500701904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52081298828125 × 2 - 1) × π
    0.0416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13077186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.00140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00441019476504517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13077186} λ = 0.13077186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00441019476504517))-π/2
    2×atan(0.995599515863389)-π/2
    2×0.783193073163015-π/2
    1.56638614632603-1.57079632675     		φ = -0.00441018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13077186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00441018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.252685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17066 KachelY 16407 0.13077186 -0.00441018 7.492676 -0.252685
    Oben rechts KachelX + 1 17067 KachelY 16407 0.13096361 -0.00441018 7.503662 -0.252685
    Unten links KachelX 17066 KachelY + 1 16408 0.13077186 -0.00460193 7.492676 -0.263671
    Unten rechts KachelX + 1 17067 KachelY + 1 16408 0.13096361 -0.00460193 7.503662 -0.263671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00441018--0.00460193) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00441018--0.00460193) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13077186-0.13096361) × cos(-0.00441018) × R
    0.000191750000000018 × 0.999990275171946 × 6371000     		do = 1221.62736976847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13077186-0.13096361) × cos(-0.00460193) × R
    0.000191750000000018 × 0.999989411138825 × 6371000     		du = 1221.62631423169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00441018)-sin(-0.00460193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999990275171946-0.999989411138825)×R²
    abs(0.13096361-0.13077186)×8.64033121050767e-07×R²
    0.000191750000000018×8.64033121050767e-07×6371000²
    0.000191750000000018×8.64033121050767e-07×40589641000000     		ar = 1492387.30361353m²