Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17062 / 16471
↖ ↑ ↗
← S  0.955766°
E  7.448730°		 ← 1 221.47 m → S  0.955766°
E  7.459717°		 →
↑
1 221.45 m
↓
↑
1 221.45 m
↓
S  0.966751°
E  7.448730°		 ← 1 221.47 m →
1 491 959 m²		 S  0.966751°
E  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520706176757812 y=0.502670288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520706176757812 × 215)
    floor (0.520706176757812 × 32768)
    floor (17062.5)     		tx = 17062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502670288085938 × 215)
    floor (0.502670288085938 × 32768)
    floor (16471.5)     		ty = 16471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17062 / 16471 ti = "15/17062/16471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17062/16471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17062 ÷ 215
    17062 ÷ 32768     		x = 0.52069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16471 ÷ 215
    16471 ÷ 32768     		y = 0.502655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52069091796875 × 2 - 1) × π
    0.0413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13000487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.00531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0166820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13000487} λ = 0.13000487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0166820410677795))-π/2
    2×atan(0.983456333653235)-π/2
    2×0.777057529707766-π/2
    1.55411505941553-1.57079632675     		φ = -0.01668127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13000487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.448730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01668127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.955766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17062 KachelY 16471 0.13000487 -0.01668127 7.448730 -0.955766
    Oben rechts KachelX + 1 17063 KachelY 16471 0.13019662 -0.01668127 7.459717 -0.955766
    Unten links KachelX 17062 KachelY + 1 16472 0.13000487 -0.01687299 7.448730 -0.966751
    Unten rechts KachelX + 1 17063 KachelY + 1 16472 0.13019662 -0.01687299 7.459717 -0.966751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01668127--0.01687299) × R
    0.000191719999999999 × 6371000     		dl = 1221.44812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01668127--0.01687299) × R
    0.000191719999999999 × 6371000     		dr = 1221.44812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13000487-0.13019662) × cos(-0.01668127) × R
    0.000191750000000018 × 0.999860870841867 × 6371000     		do = 1221.46928435972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13000487-0.13019662) × cos(-0.01687299) × R
    0.000191750000000018 × 0.999857654481399 × 6371000     		du = 1221.46535512753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01668127)-sin(-0.01687299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999860870841867-0.999857654481399)×R²
    abs(0.13019662-0.13000487)×3.21636046773932e-06×R²
    0.000191750000000018×3.21636046773932e-06×6371000²
    0.000191750000000018×3.21636046773932e-06×40589641000000     		ar = 1491958.96591224m²