Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1706 / 2026
↖ ↑ ↗
← S 84.706049°
E119.882812°		 ← 1 803.42 m → S 84.706049°
E120.058594°		 →
↑
1 800.70 m
↓
↑
1 800.70 m
↓
S 84.722243°
E119.882812°		 ← 1 797.92 m →
3 242 472 m²		 S 84.722243°
E120.058594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.833251953125 y=0.989501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.833251953125 × 211)
    floor (0.833251953125 × 2048)
    floor (1706.5)     		tx = 1706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.989501953125 × 211)
    floor (0.989501953125 × 2048)
    floor (2026.5)     		ty = 2026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1706 / 2026 ti = "11/1706/2026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1706/2026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1706 ÷ 211
    1706 ÷ 2048     		x = 0.8330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2026 ÷ 211
    2026 ÷ 2048     		y = 0.9892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8330078125 × 2 - 1) × π
    0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9892578125 × 2 - 1) × π
    -0.978515625 × 3.1415926535     		Φ = -3.07409749883496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.09234979} λ = 2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.07409749883496))-π/2
    2×atan(0.0462313333916866)-π/2
    2×0.0461984382655465-π/2
    0.092396876531093-1.57079632675     		φ = -1.47839945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47839945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.706049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1706 KachelY 2026 2.09234979 -1.47839945 119.882812 -84.706049
    Oben rechts KachelX + 1 1707 KachelY 2026 2.09541776 -1.47839945 120.058594 -84.706049
    Unten links KachelX 1706 KachelY + 1 2027 2.09234979 -1.47868209 119.882812 -84.722243
    Unten rechts KachelX + 1 1707 KachelY + 1 2027 2.09541776 -1.47868209 120.058594 -84.722243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47839945--1.47868209) × R
    0.000282640000000001 × 6371000     		dl = 1800.69944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47839945--1.47868209) × R
    0.000282640000000001 × 6371000     		dr = 1800.69944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.09234979-2.09541776) × cos(-1.47839945) × R
    0.00306797000000003 × 0.0922654647300193 × 6371000     		do = 1803.42417544066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.09234979-2.09541776) × cos(-1.47868209) × R
    0.00306797000000003 × 0.0919840266650348 × 6371000     		du = 1797.92317664585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47839945)-sin(-1.47868209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0922654647300193-0.0919840266650348)×R²
    abs(2.09541776-2.09234979)×0.000281438064984485×R²
    0.00306797000000003×0.000281438064984485×6371000²
    0.00306797000000003×0.000281438064984485×40589641000000     		ar = 3242472.10165693m²