Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17059 / 16485
↖ ↑ ↗
← S  1.109550°
E  7.415772°		 ← 1 221.41 m → S  1.109550°
E  7.426758°		 →
↑
1 221.38 m
↓
↑
1 221.38 m
↓
S  1.120534°
E  7.415772°		 ← 1 221.41 m →
1 491 809 m²		 S  1.120534°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520614624023438 y=0.503097534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520614624023438 × 215)
    floor (0.520614624023438 × 32768)
    floor (17059.5)     		tx = 17059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503097534179688 × 215)
    floor (0.503097534179688 × 32768)
    floor (16485.5)     		ty = 16485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17059 / 16485 ti = "15/17059/16485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17059/16485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17059 ÷ 215
    17059 ÷ 32768     		x = 0.520599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16485 ÷ 215
    16485 ÷ 32768     		y = 0.503082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520599365234375 × 2 - 1) × π
    0.04119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12942963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.00616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0193665074465027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12942963} λ = 0.12942963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0193665074465027))-π/2
    2×atan(0.980819818591927)-π/2
    2×0.775715514920236-π/2
    1.55143102984047-1.57079632675     		φ = -0.01936530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12942963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.415772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01936530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.109550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17059 KachelY 16485 0.12942963 -0.01936530 7.415772 -1.109550
    Oben rechts KachelX + 1 17060 KachelY 16485 0.12962138 -0.01936530 7.426758 -1.109550
    Unten links KachelX 17059 KachelY + 1 16486 0.12942963 -0.01955701 7.415772 -1.120534
    Unten rechts KachelX + 1 17060 KachelY + 1 16486 0.12962138 -0.01955701 7.426758 -1.120534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01936530--0.01955701) × R
    0.000191710000000001 × 6371000     		dl = 1221.38441000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01936530--0.01955701) × R
    0.000191710000000001 × 6371000     		dr = 1221.38441000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12942963-0.12962138) × cos(-0.01936530) × R
    0.000191750000000018 × 0.999812498437721 × 6371000     		do = 1221.4101907322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12942963-0.12962138) × cos(-0.01955701) × R
    0.000191750000000018 × 0.999808767775201 × 6371000     		du = 1221.40563320844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01936530)-sin(-0.01955701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999812498437721-0.999808767775201)×R²
    abs(0.12962138-0.12942963)×3.73066251924126e-06×R²
    0.000191750000000018×3.73066251924126e-06×6371000²
    0.000191750000000018×3.73066251924126e-06×40589641000000     		ar = 1491808.58650021m²