Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17059 / 16422
↖ ↑ ↗
← S  0.417477°
E  7.415772°		 ← 1 221.61 m → S  0.417477°
E  7.426758°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
S  0.428463°
E  7.415772°		 ← 1 221.61 m →
1 492 362 m²		 S  0.428463°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520614624023438 y=0.501174926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520614624023438 × 215)
    floor (0.520614624023438 × 32768)
    floor (17059.5)     		tx = 17059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501174926757812 × 215)
    floor (0.501174926757812 × 32768)
    floor (16422.5)     		ty = 16422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17059 / 16422 ti = "15/17059/16422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17059/16422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17059 ÷ 215
    17059 ÷ 32768     		x = 0.520599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16422 ÷ 215
    16422 ÷ 32768     		y = 0.50115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520599365234375 × 2 - 1) × π
    0.04119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12942963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.0023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00728640874224854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12942963} λ = 0.12942963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00728640874224854))-π/2
    2×atan(0.992740072776506)-π/2
    2×0.781754991263247-π/2
    1.56350998252649-1.57079632675     		φ = -0.00728634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12942963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.415772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00728634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.417477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17059 KachelY 16422 0.12942963 -0.00728634 7.415772 -0.417477
    Oben rechts KachelX + 1 17060 KachelY 16422 0.12962138 -0.00728634 7.426758 -0.417477
    Unten links KachelX 17059 KachelY + 1 16423 0.12942963 -0.00747809 7.415772 -0.428463
    Unten rechts KachelX + 1 17060 KachelY + 1 16423 0.12962138 -0.00747809 7.426758 -0.428463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00728634--0.00747809) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00728634--0.00747809) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12942963-0.12962138) × cos(-0.00728634) × R
    0.000191750000000018 × 0.999973454742145 × 6371000     		do = 1221.60682127122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12942963-0.12962138) × cos(-0.00747809) × R
    0.000191750000000018 × 0.999972039215278 × 6371000     		du = 1221.60509200804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00728634)-sin(-0.00747809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999973454742145-0.999972039215278)×R²
    abs(0.12962138-0.12942963)×1.41552686694357e-06×R²
    0.000191750000000018×1.41552686694357e-06×6371000²
    0.000191750000000018×1.41552686694357e-06×40589641000000     		ar = 1492361.78923738m²