Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17058 / 16483
↖ ↑ ↗
← S  1.087581°
E  7.404785°		 ← 1 221.42 m → S  1.087581°
E  7.415772°		 →
↑
1 221.38 m
↓
↑
1 221.38 m
↓
S  1.098565°
E  7.404785°		 ← 1 221.41 m →
1 491 820 m²		 S  1.098565°
E  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520584106445312 y=0.503036499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520584106445312 × 215)
    floor (0.520584106445312 × 32768)
    floor (17058.5)     		tx = 17058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503036499023438 × 215)
    floor (0.503036499023438 × 32768)
    floor (16483.5)     		ty = 16483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17058 / 16483 ti = "15/17058/16483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17058/16483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17058 ÷ 215
    17058 ÷ 32768     		x = 0.52056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16483 ÷ 215
    16483 ÷ 32768     		y = 0.503021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52056884765625 × 2 - 1) × π
    0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.00604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0189830122495422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12923788} λ = 0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0189830122495422))-π/2
    2×atan(0.981196030414543)-π/2
    2×0.775907227272887-π/2
    1.55181445454577-1.57079632675     		φ = -0.01898187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01898187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.087581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17058 KachelY 16483 0.12923788 -0.01898187 7.404785 -1.087581
    Oben rechts KachelX + 1 17059 KachelY 16483 0.12942963 -0.01898187 7.415772 -1.087581
    Unten links KachelX 17058 KachelY + 1 16484 0.12923788 -0.01917358 7.404785 -1.098565
    Unten rechts KachelX + 1 17059 KachelY + 1 16484 0.12942963 -0.01917358 7.415772 -1.098565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01898187--0.01917358) × R
    0.000191709999999998 × 6371000     		dl = 1221.38440999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01898187--0.01917358) × R
    0.000191709999999998 × 6371000     		dr = 1221.38440999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12923788-0.12942963) × cos(-0.01898187) × R
    0.000191749999999991 × 0.999819849714932 × 6371000     		do = 1221.4191713408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12923788-0.12942963) × cos(-0.01917358) × R
    0.000191749999999991 × 0.999816192546131 × 6371000     		du = 1221.41470359985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01898187)-sin(-0.01917358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999819849714932-0.999816192546131)×R²
    abs(0.12942963-0.12923788)×3.65716880112998e-06×R²
    0.000191749999999991×3.65716880112998e-06×6371000²
    0.000191749999999991×3.65716880112998e-06×40589641000000     		ar = 1491819.61010521m²