Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17050 / 16426
↖ ↑ ↗
← S  0.461421°
E  7.316894°		 ← 1 221.60 m → S  0.461421°
E  7.327881°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.472407°
E  7.316894°		 ← 1 221.60 m →
1 492 275 m²		 S  0.472407°
E  7.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520339965820312 y=0.501296997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520339965820312 × 215)
    floor (0.520339965820312 × 32768)
    floor (17050.5)     		tx = 17050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501296997070312 × 215)
    floor (0.501296997070312 × 32768)
    floor (16426.5)     		ty = 16426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17050 / 16426 ti = "15/17050/16426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17050/16426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17050 ÷ 215
    17050 ÷ 32768     		x = 0.52032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16426 ÷ 215
    16426 ÷ 32768     		y = 0.50128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52032470703125 × 2 - 1) × π
    0.0406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12770390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.0025634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00805339913616943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12770390} λ = 0.12770390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00805339913616943))-π/2
    2×atan(0.991978942604104)-π/2
    2×0.781371507355426-π/2
    1.56274301471085-1.57079632675     		φ = -0.00805331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12770390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.316894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00805331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.461421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17050 KachelY 16426 0.12770390 -0.00805331 7.316894 -0.461421
    Oben rechts KachelX + 1 17051 KachelY 16426 0.12789565 -0.00805331 7.327881 -0.461421
    Unten links KachelX 17050 KachelY + 1 16427 0.12770390 -0.00824505 7.316894 -0.472407
    Unten rechts KachelX + 1 17051 KachelY + 1 16427 0.12789565 -0.00824505 7.327881 -0.472407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00805331--0.00824505) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dl = 1221.57554000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00805331--0.00824505) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dr = 1221.57554000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12770390-0.12789565) × cos(-0.00805331) × R
    0.000191749999999991 × 0.999967572274283 × 6371000     		do = 1221.59963501742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12770390-0.12789565) × cos(-0.00824505) × R
    0.000191749999999991 × 0.999966009767806 × 6371000     		du = 1221.59772619818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00805331)-sin(-0.00824505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999967572274283-0.999966009767806)×R²
    abs(0.12789565-0.12770390)×1.56250647653788e-06×R²
    0.000191749999999991×1.56250647653788e-06×6371000²
    0.000191749999999991×1.56250647653788e-06×40589641000000     		ar = 1492275.07249862m²