Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1705 / 2027
↖ ↑ ↗
← S 84.722243°
E119.707031°		 ← 1 797.92 m → S 84.722243°
E119.882812°		 →
↑
1 795.16 m
↓
↑
1 795.16 m
↓
S 84.738387°
E119.707031°		 ← 1 792.43 m →
3 222 621 m²		 S 84.738387°
E119.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.832763671875 y=0.989990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.832763671875 × 211)
    floor (0.832763671875 × 2048)
    floor (1705.5)     		tx = 1705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.989990234375 × 211)
    floor (0.989990234375 × 2048)
    floor (2027.5)     		ty = 2027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1705 / 2027 ti = "11/1705/2027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1705/2027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1705 ÷ 211
    1705 ÷ 2048     		x = 0.83251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2027 ÷ 211
    2027 ÷ 2048     		y = 0.98974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83251953125 × 2 - 1) × π
    0.6650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08928183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98974609375 × 2 - 1) × π
    -0.9794921875 × 3.1415926535     		Φ = -3.07716546041064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08928183} λ = 2.08928183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.07716546041064))-π/2
    2×atan(0.0460897147885455)-π/2
    2×0.0460571207810853-π/2
    0.0921142415621705-1.57079632675     		φ = -1.47868209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08928183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47868209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.722243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1705 KachelY 2027 2.08928183 -1.47868209 119.707031 -84.722243
    Oben rechts KachelX + 1 1706 KachelY 2027 2.09234979 -1.47868209 119.882812 -84.722243
    Unten links KachelX 1705 KachelY + 1 2028 2.08928183 -1.47896386 119.707031 -84.738387
    Unten rechts KachelX + 1 1706 KachelY + 1 2028 2.09234979 -1.47896386 119.882812 -84.738387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47868209--1.47896386) × R
    0.000281769999999959 × 6371000     		dl = 1795.15666999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47868209--1.47896386) × R
    0.000281769999999959 × 6371000     		dr = 1795.15666999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08928183-2.09234979) × cos(-1.47868209) × R
    0.00306796000000009 × 0.0919840266650348 × 6371000     		do = 1797.91731634355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08928183-2.09234979) × cos(-1.47896386) × R
    0.00306796000000009 × 0.0917034475860416 × 6371000     		du = 1792.43312519629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47868209)-sin(-1.47896386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0919840266650348-0.0917034475860416)×R²
    abs(2.09234979-2.08928183)×0.000280579078993162×R²
    0.00306796000000009×0.000280579078993162×6371000²
    0.00306796000000009×0.000280579078993162×40589641000000     		ar = 3222620.79270275m²