Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17047 / 16423
↖ ↑ ↗
← S  0.428463°
E  7.283936°		 ← 1 221.61 m → S  0.428463°
E  7.294922°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.439449°
E  7.283936°		 ← 1 221.60 m →
1 492 282 m²		 S  0.439449°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520248413085938 y=0.501205444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520248413085938 × 215)
    floor (0.520248413085938 × 32768)
    floor (17047.5)     		tx = 17047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501205444335938 × 215)
    floor (0.501205444335938 × 32768)
    floor (16423.5)     		ty = 16423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17047 / 16423 ti = "15/17047/16423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17047/16423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17047 ÷ 215
    17047 ÷ 32768     		x = 0.520233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16423 ÷ 215
    16423 ÷ 32768     		y = 0.501190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520233154296875 × 2 - 1) × π
    0.04046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12712866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.00238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00747815634072876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12712866} λ = 0.12712866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00747815634072876))-π/2
    2×atan(0.992549735500577)-π/2
    2×0.781659120076564-π/2
    1.56331824015313-1.57079632675     		φ = -0.00747809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12712866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.283936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00747809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.428463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17047 KachelY 16423 0.12712866 -0.00747809 7.283936 -0.428463
    Oben rechts KachelX + 1 17048 KachelY 16423 0.12732041 -0.00747809 7.294922 -0.428463
    Unten links KachelX 17047 KachelY + 1 16424 0.12712866 -0.00766983 7.283936 -0.439449
    Unten rechts KachelX + 1 17048 KachelY + 1 16424 0.12732041 -0.00766983 7.294922 -0.439449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00747809--0.00766983) × R
    0.00019174 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00747809--0.00766983) × R
    0.00019174 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12712866-0.12732041) × cos(-0.00747809) × R
    0.000191749999999991 × 0.999972039215278 × 6371000     		do = 1221.60509200786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12712866-0.12732041) × cos(-0.00766983) × R
    0.000191749999999991 × 0.999970586998074 × 6371000     		du = 1221.60331792233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00747809)-sin(-0.00766983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999972039215278-0.999970586998074)×R²
    abs(0.12732041-0.12712866)×1.45221720371236e-06×R²
    0.000191749999999991×1.45221720371236e-06×6371000²
    0.000191749999999991×1.45221720371236e-06×40589641000000     		ar = 1492281.82091839m²