Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17031 / 16509
↖ ↑ ↗
← S  1.373160°
E  7.108155°		 ← 1 221.22 m → S  1.373160°
E  7.119140°		 →
↑
1 221.26 m
↓
↑
1 221.26 m
↓
S  1.384143°
E  7.108155°		 ← 1 221.22 m →
1 491 426 m²		 S  1.384143°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519760131835938 y=0.503829956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519760131835938 × 215)
    floor (0.519760131835938 × 32768)
    floor (17031.5)     		tx = 17031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503829956054688 × 215)
    floor (0.503829956054688 × 32768)
    floor (16509.5)     		ty = 16509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17031 / 16509 ti = "15/17031/16509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17031/16509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17031 ÷ 215
    17031 ÷ 32768     		x = 0.519744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16509 ÷ 215
    16509 ÷ 32768     		y = 0.503814697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519744873046875 × 2 - 1) × π
    0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.00762939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0239684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12406070} λ = 0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0239684498100281))-π/2
    2×atan(0.976316512243429)-π/2
    2×0.773415085790404-π/2
    1.54683017158081-1.57079632675     		φ = -0.02396616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02396616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.373160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17031 KachelY 16509 0.12406070 -0.02396616 7.108155 -1.373160
    Oben rechts KachelX + 1 17032 KachelY 16509 0.12425244 -0.02396616 7.119140 -1.373160
    Unten links KachelX 17031 KachelY + 1 16510 0.12406070 -0.02415785 7.108155 -1.384143
    Unten rechts KachelX + 1 17032 KachelY + 1 16510 0.12425244 -0.02415785 7.119140 -1.384143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02396616--0.02415785) × R
    0.000191690000000001 × 6371000     		dl = 1221.25699000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02396616--0.02415785) × R
    0.000191690000000001 × 6371000     		dr = 1221.25699000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(-0.02396616) × R
    0.00019174000000001 × 0.999712825333361 × 6371000     		do = 1221.22473445159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(-0.02415785) × R
    0.00019174000000001 × 0.999708213332703 × 6371000     		du = 1221.21910054439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02396616)-sin(-0.02415785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999712825333361-0.999708213332703)×R²
    abs(0.12425244-0.12406070)×4.61200065848821e-06×R²
    0.00019174000000001×4.61200065848821e-06×6371000²
    0.00019174000000001×4.61200065848821e-06×40589641000000     		ar = 1491425.80765253m²