Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17031 / 16507
↖ ↑ ↗
← S  1.351193°
E  7.108155°		 ← 1 221.24 m → S  1.351193°
E  7.119140°		 →
↑
1 221.26 m
↓
↑
1 221.26 m
↓
S  1.362176°
E  7.108155°		 ← 1 221.23 m →
1 491 439 m²		 S  1.362176°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519760131835938 y=0.503768920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519760131835938 × 215)
    floor (0.519760131835938 × 32768)
    floor (17031.5)     		tx = 17031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503768920898438 × 215)
    floor (0.503768920898438 × 32768)
    floor (16507.5)     		ty = 16507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17031 / 16507 ti = "15/17031/16507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17031/16507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17031 ÷ 215
    17031 ÷ 32768     		x = 0.519744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16507 ÷ 215
    16507 ÷ 32768     		y = 0.503753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519744873046875 × 2 - 1) × π
    0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.00750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0235849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12406070} λ = 0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0235849546130676))-π/2
    2×atan(0.9766909967385)-π/2
    2×0.77360677919999-π/2
    1.54721355839998-1.57079632675     		φ = -0.02358277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02358277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.351193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17031 KachelY 16507 0.12406070 -0.02358277 7.108155 -1.351193
    Oben rechts KachelX + 1 17032 KachelY 16507 0.12425244 -0.02358277 7.119140 -1.351193
    Unten links KachelX 17031 KachelY + 1 16508 0.12406070 -0.02377446 7.108155 -1.362176
    Unten rechts KachelX + 1 17032 KachelY + 1 16508 0.12425244 -0.02377446 7.119140 -1.362176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02358277--0.02377446) × R
    0.000191690000000001 × 6371000     		dl = 1221.25699000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02358277--0.02377446) × R
    0.000191690000000001 × 6371000     		dr = 1221.25699000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(-0.02358277) × R
    0.00019174000000001 × 0.999721939366805 × 6371000     		do = 1221.23586793191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(-0.02377446) × R
    0.00019174000000001 × 0.999717400837238 × 6371000     		du = 1221.23032377521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02358277)-sin(-0.02377446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999721939366805-0.999717400837238)×R²
    abs(0.12425244-0.12406070)×4.53852956661116e-06×R²
    0.00019174000000001×4.53852956661116e-06×6371000²
    0.00019174000000001×4.53852956661116e-06×40589641000000     		ar = 1491439.45929744m²