Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17014 / 16547
↖ ↑ ↗
← S  1.790480°
E  6.921387°		 ← 1 220.98 m → S  1.790480°
E  6.932373°		 →
↑
1 221 m
↓
↑
1 221 m
↓
S  1.801461°
E  6.921387°		 ← 1 220.97 m →
1 490 814 m²		 S  1.801461°
E  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519241333007812 y=0.504989624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519241333007812 × 215)
    floor (0.519241333007812 × 32768)
    floor (17014.5)     		tx = 17014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504989624023438 × 215)
    floor (0.504989624023438 × 32768)
    floor (16547.5)     		ty = 16547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17014 / 16547 ti = "15/17014/16547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17014/16547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17014 ÷ 215
    17014 ÷ 32768     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16547 ÷ 215
    16547 ÷ 32768     		y = 0.504974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.00994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0312548585522766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0312548585522766))-π/2
    2×atan(0.969228525417446)-π/2
    2×0.769773277817987-π/2
    1.53954655563597-1.57079632675     		φ = -0.03124977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03124977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.790480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17014 KachelY 16547 0.12080099 -0.03124977 6.921387 -1.790480
    Oben rechts KachelX + 1 17015 KachelY 16547 0.12099273 -0.03124977 6.932373 -1.790480
    Unten links KachelX 17014 KachelY + 1 16548 0.12080099 -0.03144142 6.921387 -1.801461
    Unten rechts KachelX + 1 17015 KachelY + 1 16548 0.12099273 -0.03144142 6.932373 -1.801461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03124977--0.03144142) × R
    0.000191649999999998 × 6371000     		dl = 1221.00214999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03124977--0.03144142) × R
    0.000191649999999998 × 6371000     		dr = 1221.00214999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(-0.03124977) × R
    0.00019174000000001 × 0.99951176567144 × 6371000     		do = 1220.9791248865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(-0.03144142) × R
    0.00019174000000001 × 0.999505759271875 × 6371000     		du = 1220.97178761571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03124977)-sin(-0.03144142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99951176567144-0.999505759271875)×R²
    abs(0.12099273-0.12080099)×6.00639956549465e-06×R²
    0.00019174000000001×6.00639956549465e-06×6371000²
    0.00019174000000001×6.00639956549465e-06×40589641000000     		ar = 1490813.66174289m²