Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17006 / 16465
↖ ↑ ↗
← S  0.889857°
E  6.833496°		 ← 1 221.43 m → S  0.889857°
E  6.844482°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
S  0.900842°
E  6.833496°		 ← 1 221.42 m →
1 491 987 m²		 S  0.900842°
E  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518997192382812 y=0.502487182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518997192382812 × 215)
    floor (0.518997192382812 × 32768)
    floor (17006.5)     		tx = 17006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502487182617188 × 215)
    floor (0.502487182617188 × 32768)
    floor (16465.5)     		ty = 16465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17006 / 16465 ti = "15/17006/16465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17006/16465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17006 ÷ 215
    17006 ÷ 32768     		x = 0.51898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16465 ÷ 215
    16465 ÷ 32768     		y = 0.502471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51898193359375 × 2 - 1) × π
    0.0379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11926701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.00494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0155315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11926701} λ = 0.11926701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0155315554768982))-π/2
    2×atan(0.984588437103845)-π/2
    2×0.77763269786225-π/2
    1.5552653957245-1.57079632675     		φ = -0.01553093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11926701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.833496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01553093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.889857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17006 KachelY 16465 0.11926701 -0.01553093 6.833496 -0.889857
    Oben rechts KachelX + 1 17007 KachelY 16465 0.11945875 -0.01553093 6.844482 -0.889857
    Unten links KachelX 17006 KachelY + 1 16466 0.11926701 -0.01572266 6.833496 -0.900842
    Unten rechts KachelX + 1 17007 KachelY + 1 16466 0.11945875 -0.01572266 6.844482 -0.900842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01553093--0.01572266) × R
    0.000191729999999999 × 6371000     		dl = 1221.51183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01553093--0.01572266) × R
    0.000191729999999999 × 6371000     		dr = 1221.51183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11926701-0.11945875) × cos(-0.01553093) × R
    0.000191739999999996 × 0.999879397530905 × 6371000     		do = 1221.42821497366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11926701-0.11945875) × cos(-0.01572266) × R
    0.000191739999999996 × 0.999876401527443 × 6371000     		du = 1221.42455512912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01553093)-sin(-0.01572266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999879397530905-0.999876401527443)×R²
    abs(0.11945875-0.11926701)×2.99600346165274e-06×R²
    0.000191739999999996×2.99600346165274e-06×6371000²
    0.000191739999999996×2.99600346165274e-06×40589641000000     		ar = 1491986.78338492m²