Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16983 / 16983
↖ ↑ ↗
← S  6.566389°
E  6.580810°		 ← 1 213.63 m → S  6.566389°
E  6.591797°		 →
↑
1 213.61 m
↓
↑
1 213.61 m
↓
S  6.577303°
E  6.580810°		 ← 1 213.60 m →
1 472 854 m²		 S  6.577303°
E  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518295288085938 y=0.518295288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518295288085938 × 215)
    floor (0.518295288085938 × 32768)
    floor (16983.5)     		tx = 16983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518295288085938 × 215)
    floor (0.518295288085938 × 32768)
    floor (16983.5)     		ty = 16983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16983 / 16983 ti = "15/16983/16983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16983/16983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16983 ÷ 215
    16983 ÷ 32768     		x = 0.518280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16983 ÷ 215
    16983 ÷ 32768     		y = 0.518280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518280029296875 × 2 - 1) × π
    0.03656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11485681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.03656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.114856811489655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11485681} λ = 0.11485681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.114856811489655))-π/2
    2×atan(0.891493786435403)-π/2
    2×0.728095609566793-π/2
    1.45619121913359-1.57079632675     		φ = -0.11460511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11485681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.580810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11460511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.566389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16983 KachelY 16983 0.11485681 -0.11460511 6.580810 -6.566389
    Oben rechts KachelX + 1 16984 KachelY 16983 0.11504856 -0.11460511 6.591797 -6.566389
    Unten links KachelX 16983 KachelY + 1 16984 0.11485681 -0.11479560 6.580810 -6.577303
    Unten rechts KachelX + 1 16984 KachelY + 1 16984 0.11504856 -0.11479560 6.591797 -6.577303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11460511--0.11479560) × R
    0.000190490000000001 × 6371000     		dl = 1213.61179000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11460511--0.11479560) × R
    0.000190490000000001 × 6371000     		dr = 1213.61179000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11485681-0.11504856) × cos(-0.11460511) × R
    0.000191749999999991 × 0.993440019178765 × 6371000     		do = 1213.62531994947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11485681-0.11504856) × cos(-0.11479560) × R
    0.000191749999999991 × 0.993418217785461 × 6371000     		du = 1213.59868651171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11460511)-sin(-0.11479560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993440019178765-0.993418217785461)×R²
    abs(0.11504856-0.11485681)×2.18013933042105e-05×R²
    0.000191749999999991×2.18013933042105e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.18013933042105e-05×40589641000000     		ar = 1472853.84005981m²