Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16981 / 10949
↖ ↑ ↗
← N 51.144894°
E  6.558838°		 ← 766.36 m → N 51.144894°
E  6.569824°		 →
↑
766.43 m
↓
↑
766.43 m
↓
N 51.138002°
E  6.558838°		 ← 766.47 m →
587 406 m²		 N 51.138002°
E  6.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518234252929688 y=0.334152221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518234252929688 × 215)
    floor (0.518234252929688 × 32768)
    floor (16981.5)     		tx = 16981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334152221679688 × 215)
    floor (0.334152221679688 × 32768)
    floor (10949.5)     		ty = 10949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16981 / 10949 ti = "15/16981/10949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16981/10949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16981 ÷ 215
    16981 ÷ 32768     		x = 0.518218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10949 ÷ 215
    10949 ÷ 32768     		y = 0.334136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518218994140625 × 2 - 1) × π
    0.03643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11447332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334136962890625 × 2 - 1) × π
    0.33172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04214819774002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11447332} λ = 0.11447332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04214819774002))-π/2
    2×atan(2.83530126469446)-π/2
    2×1.23172156402925-π/2
    2.46344312805849-1.57079632675     		φ = 0.89264680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11447332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.558838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89264680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.144894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16981 KachelY 10949 0.11447332 0.89264680 6.558838 51.144894
    Oben rechts KachelX + 1 16982 KachelY 10949 0.11466506 0.89264680 6.569824 51.144894
    Unten links KachelX 16981 KachelY + 1 10950 0.11447332 0.89252650 6.558838 51.138002
    Unten rechts KachelX + 1 16982 KachelY + 1 10950 0.11466506 0.89252650 6.569824 51.138002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89264680-0.89252650) × R
    0.000120299999999962 × 6371000     		dl = 766.431299999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89264680-0.89252650) × R
    0.000120299999999962 × 6371000     		dr = 766.431299999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11447332-0.11466506) × cos(0.89264680) × R
    0.000191739999999996 × 0.627353070786291 × 6371000     		do = 766.359166216404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11447332-0.11466506) × cos(0.89252650) × R
    0.000191739999999996 × 0.627446748061166 × 6371000     		du = 766.473600084046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89264680)-sin(0.89252650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627353070786291-0.627446748061166)×R²
    abs(0.11466506-0.11447332)×9.36772748757475e-05×R²
    0.000191739999999996×9.36772748757475e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.36772748757475e-05×40589641000000     		ar = 587405.505587392m²