Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16957 / 16987
↖ ↑ ↗
← S  6.610044°
E  6.295166°		 ← 1 213.52 m → S  6.610044°
E  6.306152°		 →
↑
1 213.48 m
↓
↑
1 213.48 m
↓
S  6.620957°
E  6.295166°		 ← 1 213.49 m →
1 472 570 m²		 S  6.620957°
E  6.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517501831054688 y=0.518417358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517501831054688 × 215)
    floor (0.517501831054688 × 32768)
    floor (16957.5)     		tx = 16957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518417358398438 × 215)
    floor (0.518417358398438 × 32768)
    floor (16987.5)     		ty = 16987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16957 / 16987 ti = "15/16957/16987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16957/16987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16957 ÷ 215
    16957 ÷ 32768     		x = 0.517486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16987 ÷ 215
    16987 ÷ 32768     		y = 0.518402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517486572265625 × 2 - 1) × π
    0.03497314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10987137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518402099609375 × 2 - 1) × π
    -0.03680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.115623801883575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10987137} λ = 0.10987137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115623801883575))-π/2
    2×atan(0.890810281419365)-π/2
    2×0.727714646834852-π/2
    1.4554292936697-1.57079632675     		φ = -0.11536703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10987137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.295166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11536703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.610044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16957 KachelY 16987 0.10987137 -0.11536703 6.295166 -6.610044
    Oben rechts KachelX + 1 16958 KachelY 16987 0.11006312 -0.11536703 6.306152 -6.610044
    Unten links KachelX 16957 KachelY + 1 16988 0.10987137 -0.11555750 6.295166 -6.620957
    Unten rechts KachelX + 1 16958 KachelY + 1 16988 0.11006312 -0.11555750 6.306152 -6.620957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11536703--0.11555750) × R
    0.000190469999999998 × 6371000     		dl = 1213.48436999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11536703--0.11555750) × R
    0.000190469999999998 × 6371000     		dr = 1213.48436999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10987137-0.11006312) × cos(-0.11536703) × R
    0.000191750000000004 × 0.993352601927508 × 6371000     		do = 1213.5185276043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10987137-0.11006312) × cos(-0.11555750) × R
    0.000191750000000004 × 0.9933306586621 × 6371000     		du = 1213.49172085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11536703)-sin(-0.11555750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993352601927508-0.9933306586621)×R²
    abs(0.11006312-0.10987137)×2.19432654079421e-05×R²
    0.000191750000000004×2.19432654079421e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.19432654079421e-05×40589641000000     		ar = 1472569.50561647m²