Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16952 / 16988
↖ ↑ ↗
← S  6.620957°
E  6.240235°		 ← 1 213.43 m → S  6.620957°
E  6.251221°		 →
↑
1 213.48 m
↓
↑
1 213.48 m
↓
S  6.631870°
E  6.240235°		 ← 1 213.40 m →
1 472 460 m²		 S  6.631870°
E  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517349243164062 y=0.518447875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517349243164062 × 215)
    floor (0.517349243164062 × 32768)
    floor (16952.5)     		tx = 16952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518447875976562 × 215)
    floor (0.518447875976562 × 32768)
    floor (16988.5)     		ty = 16988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16952 / 16988 ti = "15/16952/16988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16952/16988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16952 ÷ 215
    16952 ÷ 32768     		x = 0.517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16988 ÷ 215
    16988 ÷ 32768     		y = 0.5184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517333984375 × 2 - 1) × π
    0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.115815549482056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10891264} λ = 0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115815549482056))-π/2
    2×atan(0.890639487062429)-π/2
    2×0.727619411398567-π/2
    1.45523882279713-1.57079632675     		φ = -0.11555750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11555750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.620957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16952 KachelY 16988 0.10891264 -0.11555750 6.240235 -6.620957
    Oben rechts KachelX + 1 16953 KachelY 16988 0.10910438 -0.11555750 6.251221 -6.620957
    Unten links KachelX 16952 KachelY + 1 16989 0.10891264 -0.11574797 6.240235 -6.631870
    Unten rechts KachelX + 1 16953 KachelY + 1 16989 0.10910438 -0.11574797 6.251221 -6.631870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11555750--0.11574797) × R
    0.000190470000000012 × 6371000     		dl = 1213.48437000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11555750--0.11574797) × R
    0.000190470000000012 × 6371000     		dr = 1213.48437000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10891264-0.10910438) × cos(-0.11555750) × R
    0.000191739999999996 × 0.9933306586621 × 6371000     		do = 1213.42843575368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10891264-0.10910438) × cos(-0.11574797) × R
    0.000191739999999996 × 0.993308679359827 × 6371000     		du = 1213.40158637564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11555750)-sin(-0.11574797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9933306586621-0.993308679359827)×R²
    abs(0.10910438-0.10891264)×2.19793022729897e-05×R²
    0.000191739999999996×2.19793022729897e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.19793022729897e-05×40589641000000     		ar = 1472460.15470199m²