Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16940 / 16460
↖ ↑ ↗
← S  0.834931°
E  6.108398°		 ← 1 221.51 m → S  0.834931°
E  6.119385°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
S  0.845917°
E  6.108398°		 ← 1 221.51 m →
1 492 086 m²		 S  0.845917°
E  6.119385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516983032226562 y=0.502334594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516983032226562 × 215)
    floor (0.516983032226562 × 32768)
    floor (16940.5)     		tx = 16940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502334594726562 × 215)
    floor (0.502334594726562 × 32768)
    floor (16460.5)     		ty = 16460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16940 / 16460 ti = "15/16940/16460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16940/16460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16940 ÷ 215
    16940 ÷ 32768     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16460 ÷ 215
    16460 ÷ 32768     		y = 0.5023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0145728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0145728174844971))-π/2
    2×atan(0.985532852096302)-π/2
    2×0.778112012540314-π/2
    1.55622402508063-1.57079632675     		φ = -0.01457230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01457230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.834931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16940 KachelY 16460 0.10661166 -0.01457230 6.108398 -0.834931
    Oben rechts KachelX + 1 16941 KachelY 16460 0.10680341 -0.01457230 6.119385 -0.834931
    Unten links KachelX 16940 KachelY + 1 16461 0.10661166 -0.01476403 6.108398 -0.845917
    Unten rechts KachelX + 1 16941 KachelY + 1 16461 0.10680341 -0.01476403 6.119385 -0.845917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01457230--0.01476403) × R
    0.000191729999999999 × 6371000     		dl = 1221.51183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01457230--0.01476403) × R
    0.000191729999999999 × 6371000     		dr = 1221.51183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10680341) × cos(-0.01457230) × R
    0.000191750000000004 × 0.999893825915231 × 6371000     		do = 1221.50954357074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10680341) × cos(-0.01476403) × R
    0.000191750000000004 × 0.999891013688806 × 6371000     		du = 1221.50610804456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01457230)-sin(-0.01476403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999893825915231-0.999891013688806)×R²
    abs(0.10680341-0.10661166)×2.81222642450896e-06×R²
    0.000191750000000004×2.81222642450896e-06×6371000²
    0.000191750000000004×2.81222642450896e-06×40589641000000     		ar = 1492086.26423243m²