Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16939 / 16999
↖ ↑ ↗
← S  6.740986°
E  6.097412°		 ← 1 213.13 m → S  6.740986°
E  6.108398°		 →
↑
1 213.17 m
↓
↑
1 213.17 m
↓
S  6.751896°
E  6.097412°		 ← 1 213.10 m →
1 471 712 m²		 S  6.751896°
E  6.108398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516952514648438 y=0.518783569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516952514648438 × 215)
    floor (0.516952514648438 × 32768)
    floor (16939.5)     		tx = 16939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518783569335938 × 215)
    floor (0.518783569335938 × 32768)
    floor (16999.5)     		ty = 16999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16939 / 16999 ti = "15/16939/16999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16939/16999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16939 ÷ 215
    16939 ÷ 32768     		x = 0.516937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16999 ÷ 215
    16999 ÷ 32768     		y = 0.518768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516937255859375 × 2 - 1) × π
    0.03387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10641992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.03753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.117924773065338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10641992} λ = 0.10641992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.117924773065338))-π/2
    2×atan(0.888762909009171)-π/2
    2×0.726571961311933-π/2
    1.45314392262387-1.57079632675     		φ = -0.11765240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10641992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.097412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11765240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.740986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16939 KachelY 16999 0.10641992 -0.11765240 6.097412 -6.740986
    Oben rechts KachelX + 1 16940 KachelY 16999 0.10661166 -0.11765240 6.108398 -6.740986
    Unten links KachelX 16939 KachelY + 1 17000 0.10641992 -0.11784282 6.097412 -6.751896
    Unten rechts KachelX + 1 16940 KachelY + 1 17000 0.10661166 -0.11784282 6.108398 -6.751896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11765240--0.11784282) × R
    0.000190419999999997 × 6371000     		dl = 1213.16581999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11765240--0.11784282) × R
    0.000190419999999997 × 6371000     		dr = 1213.16581999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10641992-0.10661166) × cos(-0.11765240) × R
    0.000191739999999996 × 0.993086936178547 × 6371000     		do = 1213.13071032923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10641992-0.10661166) × cos(-0.11784282) × R
    0.000191739999999996 × 0.99306456645326 × 6371000     		du = 1213.10338401998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11765240)-sin(-0.11784282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993086936178547-0.99306456645326)×R²
    abs(0.10661166-0.10641992)×2.23697252873523e-05×R²
    0.000191739999999996×2.23697252873523e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.23697252873523e-05×40589641000000     		ar = 1471712.14173853m²