Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16937 / 17003
↖ ↑ ↗
← S  6.784626°
E  6.075439°		 ← 1 213.08 m → S  6.784626°
E  6.086426°		 →
↑
1 213.04 m
↓
↑
1 213.04 m
↓
S  6.795535°
E  6.075439°		 ← 1 213.06 m →
1 471 501 m²		 S  6.795535°
E  6.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516891479492188 y=0.518905639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516891479492188 × 215)
    floor (0.516891479492188 × 32768)
    floor (16937.5)     		tx = 16937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518905639648438 × 215)
    floor (0.518905639648438 × 32768)
    floor (17003.5)     		ty = 17003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16937 / 17003 ti = "15/16937/17003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16937/17003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16937 ÷ 215
    16937 ÷ 32768     		x = 0.516876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17003 ÷ 215
    17003 ÷ 32768     		y = 0.518890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516876220703125 × 2 - 1) × π
    0.03375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10603642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.03778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.118691763459259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10603642} λ = 0.10603642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118691763459259))-π/2
    2×atan(0.888081497746839)-π/2
    2×0.726191134421978-π/2
    1.45238226884396-1.57079632675     		φ = -0.11841406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10603642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.075439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11841406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.784626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16937 KachelY 17003 0.10603642 -0.11841406 6.075439 -6.784626
    Oben rechts KachelX + 1 16938 KachelY 17003 0.10622817 -0.11841406 6.086426 -6.784626
    Unten links KachelX 16937 KachelY + 1 17004 0.10603642 -0.11860446 6.075439 -6.795535
    Unten rechts KachelX + 1 16938 KachelY + 1 17004 0.10622817 -0.11860446 6.086426 -6.795535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11841406--0.11860446) × R
    0.000190399999999993 × 6371000     		dl = 1213.03839999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11841406--0.11860446) × R
    0.000190399999999993 × 6371000     		dr = 1213.03839999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10603642-0.10622817) × cos(-0.11841406) × R
    0.000191749999999991 × 0.992997243593606 × 6371000     		do = 1213.0844079157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10603642-0.10622817) × cos(-0.11860446) × R
    0.000191749999999991 × 0.992974732210316 × 6371000     		du = 1213.0569071263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11841406)-sin(-0.11860446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992997243593606-0.992974732210316)×R²
    abs(0.10622817-0.10603642)×2.25113832899027e-05×R²
    0.000191749999999991×2.25113832899027e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.25113832899027e-05×40589641000000     		ar = 1471501.29393157m²