Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16935 / 17000
↖ ↑ ↗
← S  6.751896°
E  6.053467°		 ← 1 213.10 m → S  6.751896°
E  6.064453°		 →
↑
1 213.17 m
↓
↑
1 213.17 m
↓
S  6.762806°
E  6.053467°		 ← 1 213.08 m →
1 471 679 m²		 S  6.762806°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516830444335938 y=0.518814086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516830444335938 × 215)
    floor (0.516830444335938 × 32768)
    floor (16935.5)     		tx = 16935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518814086914062 × 215)
    floor (0.518814086914062 × 32768)
    floor (17000.5)     		ty = 17000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16935 / 17000 ti = "15/16935/17000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16935/17000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16935 ÷ 215
    16935 ÷ 32768     		x = 0.516815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17000 ÷ 215
    17000 ÷ 32768     		y = 0.518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516815185546875 × 2 - 1) × π
    0.03363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10565293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.03759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.118116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10565293} λ = 0.10565293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118116520663818))-π/2
    2×atan(0.888592507193342)-π/2
    2×0.726476751366483-π/2
    1.45295350273297-1.57079632675     		φ = -0.11784282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10565293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11784282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.751896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16935 KachelY 17000 0.10565293 -0.11784282 6.053467 -6.751896
    Oben rechts KachelX + 1 16936 KachelY 17000 0.10584467 -0.11784282 6.064453 -6.751896
    Unten links KachelX 16935 KachelY + 1 17001 0.10565293 -0.11803324 6.053467 -6.762806
    Unten rechts KachelX + 1 16936 KachelY + 1 17001 0.10584467 -0.11803324 6.064453 -6.762806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11784282--0.11803324) × R
    0.000190419999999997 × 6371000     		dl = 1213.16581999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11784282--0.11803324) × R
    0.000190419999999997 × 6371000     		dr = 1213.16581999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10565293-0.10584467) × cos(-0.11784282) × R
    0.000191739999999996 × 0.99306456645326 × 6371000     		do = 1213.10338401998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10565293-0.10584467) × cos(-0.11803324) × R
    0.000191739999999996 × 0.993042160719674 × 6371000     		du = 1213.07601372388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11784282)-sin(-0.11803324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99306456645326-0.993042160719674)×R²
    abs(0.10584467-0.10565293)×2.24057335862504e-05×R²
    0.000191739999999996×2.24057335862504e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.24057335862504e-05×40589641000000     		ar = 1471678.96371239m²