Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16934 / 17002
↖ ↑ ↗
← S  6.773716°
E  6.042481°		 ← 1 213.11 m → S  6.773716°
E  6.053467°		 →
↑
1 213.10 m
↓
↑
1 213.10 m
↓
S  6.784626°
E  6.042481°		 ← 1 213.08 m →
1 471 612 m²		 S  6.784626°
E  6.053467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516799926757812 y=0.518875122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516799926757812 × 215)
    floor (0.516799926757812 × 32768)
    floor (16934.5)     		tx = 16934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518875122070312 × 215)
    floor (0.518875122070312 × 32768)
    floor (17002.5)     		ty = 17002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16934 / 17002 ti = "15/16934/17002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16934/17002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16934 ÷ 215
    16934 ÷ 32768     		x = 0.51678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17002 ÷ 215
    17002 ÷ 32768     		y = 0.51885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51678466796875 × 2 - 1) × π
    0.0335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10546118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.0377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.118500015860779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10546118} λ = 0.10546118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118500015860779))-π/2
    2×atan(0.888251801568439)-π/2
    2×0.726286337918103-π/2
    1.45257267583621-1.57079632675     		φ = -0.11822365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10546118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.042481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11822365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.773716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16934 KachelY 17002 0.10546118 -0.11822365 6.042481 -6.773716
    Oben rechts KachelX + 1 16935 KachelY 17002 0.10565293 -0.11822365 6.053467 -6.773716
    Unten links KachelX 16934 KachelY + 1 17003 0.10546118 -0.11841406 6.042481 -6.784626
    Unten rechts KachelX + 1 16935 KachelY + 1 17003 0.10565293 -0.11841406 6.053467 -6.784626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11822365--0.11841406) × R
    0.000190410000000002 × 6371000     		dl = 1213.10211000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11822365--0.11841406) × R
    0.000190410000000002 × 6371000     		dr = 1213.10211000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10546118-0.10565293) × cos(-0.11822365) × R
    0.000191750000000004 × 0.993019720158085 × 6371000     		do = 1213.11186616916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10546118-0.10565293) × cos(-0.11841406) × R
    0.000191750000000004 × 0.992997243593606 × 6371000     		du = 1213.08440791579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11822365)-sin(-0.11841406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993019720158085-0.992997243593606)×R²
    abs(0.10565293-0.10546118)×2.24765644795122e-05×R²
    0.000191750000000004×2.24765644795122e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.24765644795122e-05×40589641000000     		ar = 1471611.91412955m²