Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16931 / 16924
↖ ↑ ↗
← S  5.922045°
E  6.009522°		 ← 1 215.06 m → S  5.922045°
E  6.020508°		 →
↑
1 215.08 m
↓
↑
1 215.08 m
↓
S  5.932972°
E  6.009522°		 ← 1 215.03 m →
1 476 372 m²		 S  5.932972°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516708374023438 y=0.516494750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516708374023438 × 215)
    floor (0.516708374023438 × 32768)
    floor (16931.5)     		tx = 16931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516494750976562 × 215)
    floor (0.516494750976562 × 32768)
    floor (16924.5)     		ty = 16924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16931 / 16924 ti = "15/16931/16924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16931/16924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16931 ÷ 215
    16931 ÷ 32768     		x = 0.516693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16924 ÷ 215
    16924 ÷ 32768     		y = 0.5164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.103543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10488594} λ = 0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.103543703179321))-π/2
    2×atan(0.901636617494017)-π/2
    2×0.73371857486543-π/2
    1.46743714973086-1.57079632675     		φ = -0.10335918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10335918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.922045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16931 KachelY 16924 0.10488594 -0.10335918 6.009522 -5.922045
    Oben rechts KachelX + 1 16932 KachelY 16924 0.10507768 -0.10335918 6.020508 -5.922045
    Unten links KachelX 16931 KachelY + 1 16925 0.10488594 -0.10354990 6.009522 -5.932972
    Unten rechts KachelX + 1 16932 KachelY + 1 16925 0.10507768 -0.10354990 6.020508 -5.932972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10335918--0.10354990) × R
    0.000190720000000005 × 6371000     		dl = 1215.07712000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10335918--0.10354990) × R
    0.000190720000000005 × 6371000     		dr = 1215.07712000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(-0.10335918) × R
    0.00019174000000001 × 0.994663193639064 × 6371000     		do = 1215.05622788783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(-0.10354990) × R
    0.00019174000000001 × 0.994643497966422 × 6371000     		du = 1215.03216813588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10335918)-sin(-0.10354990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994663193639064-0.994643497966422)×R²
    abs(0.10507768-0.10488594)×1.96956726413733e-05×R²
    0.00019174000000001×1.96956726413733e-05×6371000²
    0.00019174000000001×1.96956726413733e-05×40589641000000     		ar = 1476372.40926816m²