Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16914 / 16498
↖ ↑ ↗
← S  1.252342°
E  5.822754°		 ← 1 221.28 m → S  1.252342°
E  5.833740°		 →
↑
1 221.32 m
↓
↑
1 221.32 m
↓
S  1.263326°
E  5.822754°		 ← 1 221.28 m →
1 491 576 m²		 S  1.263326°
E  5.833740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516189575195312 y=0.503494262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516189575195312 × 215)
    floor (0.516189575195312 × 32768)
    floor (16914.5)     		tx = 16914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503494262695312 × 215)
    floor (0.503494262695312 × 32768)
    floor (16498.5)     		ty = 16498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16914 / 16498 ti = "15/16914/16498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16914/16498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16914 ÷ 215
    16914 ÷ 32768     		x = 0.51617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16498 ÷ 215
    16498 ÷ 32768     		y = 0.50347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51617431640625 × 2 - 1) × π
    0.0323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10162623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0069580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0218592262267456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10162623} λ = 0.10162623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0218592262267456))-π/2
    2×atan(0.978377955313721)-π/2
    2×0.774469420588583-π/2
    1.54893884117717-1.57079632675     		φ = -0.02185749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10162623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02185749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.252342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16914 KachelY 16498 0.10162623 -0.02185749 5.822754 -1.252342
    Oben rechts KachelX + 1 16915 KachelY 16498 0.10181797 -0.02185749 5.833740 -1.252342
    Unten links KachelX 16914 KachelY + 1 16499 0.10162623 -0.02204919 5.822754 -1.263326
    Unten rechts KachelX + 1 16915 KachelY + 1 16499 0.10181797 -0.02204919 5.833740 -1.263326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02185749--0.02204919) × R
    0.0001917 × 6371000     		dl = 1221.3207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02185749--0.02204919) × R
    0.0001917 × 6371000     		dr = 1221.3207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10162623-0.10181797) × cos(-0.02185749) × R
    0.000191739999999996 × 0.999761134575504 × 6371000     		do = 1221.28374784006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10162623-0.10181797) × cos(-0.02204919) × R
    0.000191739999999996 × 0.999756926458268 × 6371000     		du = 1221.27860730697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02185749)-sin(-0.02204919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999761134575504-0.999756926458268)×R²
    abs(0.10181797-0.10162623)×4.20811723611525e-06×R²
    0.000191739999999996×4.20811723611525e-06×6371000²
    0.000191739999999996×4.20811723611525e-06×40589641000000     		ar = 1491575.98725871m²