Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1690 / 1910
↖ ↑ ↗
← S 82.448764°
E117.070313°		 ← 2 568.59 m → S 82.448764°
E117.246094°		 →
↑
2 564.65 m
↓
↑
2 564.65 m
↓
S 82.471829°
E117.070313°		 ← 2 560.79 m →
6 577 521 m²		 S 82.471829°
E117.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825439453125 y=0.932861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825439453125 × 211)
    floor (0.825439453125 × 2048)
    floor (1690.5)     		tx = 1690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.932861328125 × 211)
    floor (0.932861328125 × 2048)
    floor (1910.5)     		ty = 1910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1690 / 1910 ti = "11/1690/1910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1690/1910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1690 ÷ 211
    1690 ÷ 2048     		x = 0.8251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1910 ÷ 211
    1910 ÷ 2048     		y = 0.9326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8251953125 × 2 - 1) × π
    0.650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04326241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    -0.865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.71821395605566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04326241} λ = 2.04326241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71821395605566))-π/2
    2×atan(0.0659925147638955)-π/2
    2×0.0658969649143413-π/2
    0.131793929828683-1.57079632675     		φ = -1.43900240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04326241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.070313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43900240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.448764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1690 KachelY 1910 2.04326241 -1.43900240 117.070313 -82.448764
    Oben rechts KachelX + 1 1691 KachelY 1910 2.04633037 -1.43900240 117.246094 -82.448764
    Unten links KachelX 1690 KachelY + 1 1911 2.04326241 -1.43940495 117.070313 -82.471829
    Unten rechts KachelX + 1 1691 KachelY + 1 1911 2.04633037 -1.43940495 117.246094 -82.471829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43900240--1.43940495) × R
    0.000402550000000002 × 6371000     		dl = 2564.64605000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43900240--1.43940495) × R
    0.000402550000000002 × 6371000     		dr = 2564.64605000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04326241-2.04633037) × cos(-1.43900240) × R
    0.00306796000000009 × 0.131412722523038 × 6371000     		do = 2568.5895473179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04326241-2.04633037) × cos(-1.43940495) × R
    0.00306796000000009 × 0.131013652902914 × 6371000     		du = 2560.789343234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43900240)-sin(-1.43940495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131412722523038-0.131013652902914)×R²
    abs(2.04633037-2.04326241)×0.000399069620123427×R²
    0.00306796000000009×0.000399069620123427×6371000²
    0.00306796000000009×0.000399069620123427×40589641000000     		ar = 6577520.74413155m²