Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1689 / 2039
↖ ↑ ↗
← S 84.912758°
E116.894531°		 ← 1 733.19 m → S 84.912758°
E117.070313°		 →
↑
1 730.55 m
↓
↑
1 730.55 m
↓
S 84.928321°
E116.894531°		 ← 1 727.90 m →
2 994 805 m²		 S 84.928321°
E117.070313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824951171875 y=0.995849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824951171875 × 211)
    floor (0.824951171875 × 2048)
    floor (1689.5)     		tx = 1689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.995849609375 × 211)
    floor (0.995849609375 × 2048)
    floor (2039.5)     		ty = 2039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1689 / 2039 ti = "11/1689/2039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1689/2039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1689 ÷ 211
    1689 ÷ 2048     		x = 0.82470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2039 ÷ 211
    2039 ÷ 2048     		y = 0.99560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82470703125 × 2 - 1) × π
    0.6494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04019445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.99560546875 × 2 - 1) × π
    -0.9912109375 × 3.1415926535     		Φ = -3.11398099931885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04019445} λ = 2.04019445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.11398099931885))-π/2
    2×atan(0.0444237519248149)-π/2
    2×0.0443945635018619-π/2
    0.0887891270037239-1.57079632675     		φ = -1.48200720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04019445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.48200720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.912758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1689 KachelY 2039 2.04019445 -1.48200720 116.894531 -84.912758
    Oben rechts KachelX + 1 1690 KachelY 2039 2.04326241 -1.48200720 117.070313 -84.912758
    Unten links KachelX 1689 KachelY + 1 2040 2.04019445 -1.48227883 116.894531 -84.928321
    Unten rechts KachelX + 1 1690 KachelY + 1 2040 2.04326241 -1.48227883 117.070313 -84.928321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.48200720--1.48227883) × R
    0.000271630000000078 × 6371000     		dl = 1730.5547300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.48200720--1.48227883) × R
    0.000271630000000078 × 6371000     		dr = 1730.5547300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04019445-2.04326241) × cos(-1.48200720) × R
    0.00306796000000009 × 0.0886725111241778 × 6371000     		do = 1733.19052246303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04019445-2.04326241) × cos(-1.48227883) × R
    0.00306796000000009 × 0.0884019478518086 × 6371000     		du = 1727.90210000322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.48200720)-sin(-1.48227883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0886725111241778-0.0884019478518086)×R²
    abs(2.04326241-2.04019445)×0.000270563272369156×R²
    0.00306796000000009×0.000270563272369156×6371000²
    0.00306796000000009×0.000270563272369156×40589641000000     		ar = 2994805.12281141m²