Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1688 / 1911
↖ ↑ ↗
← S 82.471829°
E116.718750°		 ← 2 560.79 m → S 82.471829°
E116.894531°		 →
↑
2 556.94 m
↓
↑
2 556.94 m
↓
S 82.494824°
E116.718750°		 ← 2 553.01 m →
6 537 835 m²		 S 82.494824°
E116.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824462890625 y=0.933349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824462890625 × 211)
    floor (0.824462890625 × 2048)
    floor (1688.5)     		tx = 1688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.933349609375 × 211)
    floor (0.933349609375 × 2048)
    floor (1911.5)     		ty = 1911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1688 / 1911 ti = "11/1688/1911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1688/1911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1688 ÷ 211
    1688 ÷ 2048     		x = 0.82421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1911 ÷ 211
    1911 ÷ 2048     		y = 0.93310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82421875 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03712649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93310546875 × 2 - 1) × π
    -0.8662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.72128191763135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03712649} λ = 2.03712649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72128191763135))-π/2
    2×atan(0.065790362520536)-π/2
    2×0.065695686558208-π/2
    0.131391373116416-1.57079632675     		φ = -1.43940495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03712649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43940495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.471829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1688 KachelY 1911 2.03712649 -1.43940495 116.718750 -82.471829
    Oben rechts KachelX + 1 1689 KachelY 1911 2.04019445 -1.43940495 116.894531 -82.471829
    Unten links KachelX 1688 KachelY + 1 1912 2.03712649 -1.43980629 116.718750 -82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 1689 KachelY + 1 1912 2.04019445 -1.43980629 116.894531 -82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43940495--1.43980629) × R
    0.000401340000000028 × 6371000     		dl = 2556.93714000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43940495--1.43980629) × R
    0.000401340000000028 × 6371000     		dr = 2556.93714000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03712649-2.04019445) × cos(-1.43940495) × R
    0.00306796000000009 × 0.131013652902914 × 6371000     		do = 2560.789343234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03712649-2.04019445) × cos(-1.43980629) × R
    0.00306796000000009 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 2553.01217219915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43940495)-sin(-1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131013652902914-0.130615761686591)×R²
    abs(2.04019445-2.03712649)×0.00039789121632286×R²
    0.00306796000000009×0.00039789121632286×6371000²
    0.00306796000000009×0.00039789121632286×40589641000000     		ar = 6537834.598457m²