Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1688 / 1895
↖ ↑ ↗
← S 82.094243°
E116.718750°		 ← 2 688.43 m → S 82.094243°
E116.894531°		 →
↑
2 684.36 m
↓
↑
2 684.36 m
↓
S 82.118384°
E116.718750°		 ← 2 680.28 m →
7 205 765 m²		 S 82.118384°
E116.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824462890625 y=0.925537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824462890625 × 211)
    floor (0.824462890625 × 2048)
    floor (1688.5)     		tx = 1688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.925537109375 × 211)
    floor (0.925537109375 × 2048)
    floor (1895.5)     		ty = 1895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1688 / 1895 ti = "11/1688/1895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1688/1895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1688 ÷ 211
    1688 ÷ 2048     		x = 0.82421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1895 ÷ 211
    1895 ÷ 2048     		y = 0.92529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82421875 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03712649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92529296875 × 2 - 1) × π
    -0.8505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.67219453242041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03712649} λ = 2.03712649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.67219453242041))-π/2
    2×atan(0.0691004156922082)-π/2
    2×0.0689907479353773-π/2
    0.137981495870755-1.57079632675     		φ = -1.43281483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03712649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43281483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.094243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1688 KachelY 1895 2.03712649 -1.43281483 116.718750 -82.094243
    Oben rechts KachelX + 1 1689 KachelY 1895 2.04019445 -1.43281483 116.894531 -82.094243
    Unten links KachelX 1688 KachelY + 1 1896 2.03712649 -1.43323617 116.718750 -82.118384
    Unten rechts KachelX + 1 1689 KachelY + 1 1896 2.04019445 -1.43323617 116.894531 -82.118384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43281483--1.43323617) × R
    0.000421339999999937 × 6371000     		dl = 2684.3571399996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43281483--1.43323617) × R
    0.000421339999999937 × 6371000     		dr = 2684.3571399996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03712649-2.04019445) × cos(-1.43281483) × R
    0.00306796000000009 × 0.137544077565399 × 6371000     		do = 2688.43284841032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03712649-2.04019445) × cos(-1.43323617) × R
    0.00306796000000009 × 0.137126729932919 × 6371000     		du = 2680.27538278748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43281483)-sin(-1.43323617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137544077565399-0.137126729932919)×R²
    abs(2.04019445-2.03712649)×0.000417347632479775×R²
    0.00306796000000009×0.000417347632479775×6371000²
    0.00306796000000009×0.000417347632479775×40589641000000     		ar = 7205765.24309488m²