Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1687 / 1911
↖ ↑ ↗
← S 82.471829°
E116.542968°		 ← 2 560.80 m → S 82.471829°
E116.718750°		 →
↑
2 556.94 m
↓
↑
2 556.94 m
↓
S 82.494824°
E116.542968°		 ← 2 553.02 m →
6 537 856 m²		 S 82.494824°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823974609375 y=0.933349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823974609375 × 211)
    floor (0.823974609375 × 2048)
    floor (1687.5)     		tx = 1687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.933349609375 × 211)
    floor (0.933349609375 × 2048)
    floor (1911.5)     		ty = 1911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1687 / 1911 ti = "11/1687/1911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1687/1911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1687 ÷ 211
    1687 ÷ 2048     		x = 0.82373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1911 ÷ 211
    1911 ÷ 2048     		y = 0.93310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82373046875 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03405852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93310546875 × 2 - 1) × π
    -0.8662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.72128191763135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03405852} λ = 2.03405852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72128191763135))-π/2
    2×atan(0.065790362520536)-π/2
    2×0.065695686558208-π/2
    0.131391373116416-1.57079632675     		φ = -1.43940495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03405852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.542968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43940495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.471829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1687 KachelY 1911 2.03405852 -1.43940495 116.542968 -82.471829
    Oben rechts KachelX + 1 1688 KachelY 1911 2.03712649 -1.43940495 116.718750 -82.471829
    Unten links KachelX 1687 KachelY + 1 1912 2.03405852 -1.43980629 116.542968 -82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 1688 KachelY + 1 1912 2.03712649 -1.43980629 116.718750 -82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43940495--1.43980629) × R
    0.000401340000000028 × 6371000     		dl = 2556.93714000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43940495--1.43980629) × R
    0.000401340000000028 × 6371000     		dr = 2556.93714000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03405852-2.03712649) × cos(-1.43940495) × R
    0.00306797000000003 × 0.131013652902914 × 6371000     		do = 2560.79769011377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03405852-2.03712649) × cos(-1.43980629) × R
    0.00306797000000003 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 2553.02049372928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43940495)-sin(-1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131013652902914-0.130615761686591)×R²
    abs(2.03712649-2.03405852)×0.00039789121632286×R²
    0.00306797000000003×0.00039789121632286×6371000²
    0.00306797000000003×0.00039789121632286×40589641000000     		ar = 6537855.90849546m²