Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16845 / 16977
↖ ↑ ↗
← S  6.500899°
E  5.064697°		 ← 1 213.78 m → S  6.500899°
E  5.075684°		 →
↑
1 213.80 m
↓
↑
1 213.80 m
↓
S  6.511815°
E  5.064697°		 ← 1 213.76 m →
1 473 279 m²		 S  6.511815°
E  5.075684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514083862304688 y=0.518112182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514083862304688 × 215)
    floor (0.514083862304688 × 32768)
    floor (16845.5)     		tx = 16845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518112182617188 × 215)
    floor (0.518112182617188 × 32768)
    floor (16977.5)     		ty = 16977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16845 / 16977 ti = "15/16845/16977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16845/16977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16845 ÷ 215
    16845 ÷ 32768     		x = 0.514068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16977 ÷ 215
    16977 ÷ 32768     		y = 0.518096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514068603515625 × 2 - 1) × π
    0.02813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08839564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.03619384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.113706325898773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08839564} λ = 0.08839564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113706325898773))-π/2
    2×atan(0.892520027415592)-π/2
    2×0.728667116250017-π/2
    1.45733423250003-1.57079632675     		φ = -0.11346209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08839564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.064697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11346209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.500899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16845 KachelY 16977 0.08839564 -0.11346209 5.064697 -6.500899
    Oben rechts KachelX + 1 16846 KachelY 16977 0.08858739 -0.11346209 5.075684 -6.500899
    Unten links KachelX 16845 KachelY + 1 16978 0.08839564 -0.11365261 5.064697 -6.511815
    Unten rechts KachelX + 1 16846 KachelY + 1 16978 0.08858739 -0.11365261 5.075684 -6.511815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11346209--0.11365261) × R
    0.00019052 × 6371000     		dl = 1213.80292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11346209--0.11365261) × R
    0.00019052 × 6371000     		dr = 1213.80292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08839564-0.08858739) × cos(-0.11346209) × R
    0.000191750000000004 × 0.993570079552067 × 6371000     		do = 1213.78420680646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08839564-0.08858739) × cos(-0.11365261) × R
    0.000191750000000004 × 0.993548491073892 × 6371000     		du = 1213.75783347417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11346209)-sin(-0.11365261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993570079552067-0.993548491073892)×R²
    abs(0.08858739-0.08839564)×2.15884781751274e-05×R²
    0.000191750000000004×2.15884781751274e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.15884781751274e-05×40589641000000     		ar = 1473278.81291405m²