Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16844 / 16972
↖ ↑ ↗
← S  6.446318°
E  5.053711°		 ← 1 213.85 m → S  6.446318°
E  5.064697°		 →
↑
1 213.87 m
↓
↑
1 213.87 m
↓
S  6.457234°
E  5.053711°		 ← 1 213.83 m →
1 473 439 m²		 S  6.457234°
E  5.064697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514053344726562 y=0.517959594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514053344726562 × 215)
    floor (0.514053344726562 × 32768)
    floor (16844.5)     		tx = 16844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517959594726562 × 215)
    floor (0.517959594726562 × 32768)
    floor (16972.5)     		ty = 16972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16844 / 16972 ti = "15/16844/16972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16844/16972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16844 ÷ 215
    16844 ÷ 32768     		x = 0.5140380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16972 ÷ 215
    16972 ÷ 32768     		y = 0.5179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5140380859375 × 2 - 1) × π
    0.028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08820390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.112747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08820390} λ = 0.08820390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.112747587906372))-π/2
    2×atan(0.893376130598602)-π/2
    2×0.729143428720156-π/2
    1.45828685744031-1.57079632675     		φ = -0.11250947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08820390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11250947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.446318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16844 KachelY 16972 0.08820390 -0.11250947 5.053711 -6.446318
    Oben rechts KachelX + 1 16845 KachelY 16972 0.08839564 -0.11250947 5.064697 -6.446318
    Unten links KachelX 16844 KachelY + 1 16973 0.08820390 -0.11270000 5.053711 -6.457234
    Unten rechts KachelX + 1 16845 KachelY + 1 16973 0.08839564 -0.11270000 5.064697 -6.457234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11250947--0.11270000) × R
    0.000190529999999994 × 6371000     		dl = 1213.86662999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11250947--0.11270000) × R
    0.000190529999999994 × 6371000     		dr = 1213.86662999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08820390-0.08839564) × cos(-0.11250947) × R
    0.000191739999999996 × 0.993677483205593 × 6371000     		do = 1213.85210813269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08820390-0.08839564) × cos(-0.11270000) × R
    0.000191739999999996 × 0.993656073936788 × 6371000     		du = 1213.82595509359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11250947)-sin(-0.11270000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993677483205593-0.993656073936788)×R²
    abs(0.08839564-0.08820390)×2.14092688052281e-05×R²
    0.000191739999999996×2.14092688052281e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.14092688052281e-05×40589641000000     		ar = 1473438.69912401m²