Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16843 / 16971
↖ ↑ ↗
← S  6.435401°
E  5.042725°		 ← 1 213.94 m → S  6.435401°
E  5.053711°		 →
↑
1 213.93 m
↓
↑
1 213.93 m
↓
S  6.446318°
E  5.042725°		 ← 1 213.92 m →
1 473 625 m²		 S  6.446318°
E  5.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514022827148438 y=0.517929077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514022827148438 × 215)
    floor (0.514022827148438 × 32768)
    floor (16843.5)     		tx = 16843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517929077148438 × 215)
    floor (0.517929077148438 × 32768)
    floor (16971.5)     		ty = 16971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16843 / 16971 ti = "15/16843/16971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16843/16971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16843 ÷ 215
    16843 ÷ 32768     		x = 0.514007568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16971 ÷ 215
    16971 ÷ 32768     		y = 0.517913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514007568359375 × 2 - 1) × π
    0.02801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08801215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.03582763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.112555840307892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08801215} λ = 0.08801215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.112555840307892))-π/2
    2×atan(0.893547449750677)-π/2
    2×0.729238697380586-π/2
    1.45847739476117-1.57079632675     		φ = -0.11231893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08801215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.042725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11231893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.435401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16843 KachelY 16971 0.08801215 -0.11231893 5.042725 -6.435401
    Oben rechts KachelX + 1 16844 KachelY 16971 0.08820390 -0.11231893 5.053711 -6.435401
    Unten links KachelX 16843 KachelY + 1 16972 0.08801215 -0.11250947 5.042725 -6.446318
    Unten rechts KachelX + 1 16844 KachelY + 1 16972 0.08820390 -0.11250947 5.053711 -6.446318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11231893--0.11250947) × R
    0.000190540000000003 × 6371000     		dl = 1213.93034000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11231893--0.11250947) × R
    0.000190540000000003 × 6371000     		dr = 1213.93034000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08801215-0.08820390) × cos(-0.11231893) × R
    0.000191750000000004 × 0.993698857523065 × 6371000     		do = 1213.94152703036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08801215-0.08820390) × cos(-0.11250947) × R
    0.000191750000000004 × 0.993677483205593 × 6371000     		du = 1213.9154153252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11231893)-sin(-0.11250947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993698857523065-0.993677483205593)×R²
    abs(0.08820390-0.08801215)×2.1374317471623e-05×R²
    0.000191750000000004×2.1374317471623e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.1374317471623e-05×40589641000000     		ar = 1473624.6062109m²