Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16827 / 16964
↖ ↑ ↗
← S  6.358976°
E  4.866944°		 ← 1 214.06 m → S  6.358976°
E  4.877929°		 →
↑
1 214.06 m
↓
↑
1 214.06 m
↓
S  6.369894°
E  4.866944°		 ← 1 214.03 m →
1 473 923 m²		 S  6.369894°
E  4.877929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513534545898438 y=0.517715454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513534545898438 × 215)
    floor (0.513534545898438 × 32768)
    floor (16827.5)     		tx = 16827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517715454101562 × 215)
    floor (0.517715454101562 × 32768)
    floor (16964.5)     		ty = 16964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16827 / 16964 ti = "15/16827/16964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16827/16964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16827 ÷ 215
    16827 ÷ 32768     		x = 0.513519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16964 ÷ 215
    16964 ÷ 32768     		y = 0.5177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513519287109375 × 2 - 1) × π
    0.02703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08494419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.11121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08494419} λ = 0.08494419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.11121360711853))-π/2
    2×atan(0.894747604057291)-π/2
    2×0.729905635142355-π/2
    1.45981127028471-1.57079632675     		φ = -0.11098506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08494419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.866944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11098506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.358976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16827 KachelY 16964 0.08494419 -0.11098506 4.866944 -6.358976
    Oben rechts KachelX + 1 16828 KachelY 16964 0.08513593 -0.11098506 4.877929 -6.358976
    Unten links KachelX 16827 KachelY + 1 16965 0.08494419 -0.11117562 4.866944 -6.369894
    Unten rechts KachelX + 1 16828 KachelY + 1 16965 0.08513593 -0.11117562 4.877929 -6.369894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11098506--0.11117562) × R
    0.000190560000000006 × 6371000     		dl = 1214.05776000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11098506--0.11117562) × R
    0.000190560000000006 × 6371000     		dr = 1214.05776000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08494419-0.08513593) × cos(-0.11098506) × R
    0.000191739999999996 × 0.99384747752193 × 6371000     		do = 1214.05976903146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08494419-0.08513593) × cos(-0.11117562) × R
    0.000191739999999996 × 0.993826353555867 × 6371000     		du = 1214.03396451121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11098506)-sin(-0.11117562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99384747752193-0.993826353555867)×R²
    abs(0.08513593-0.08494419)×2.11239660626861e-05×R²
    0.000191739999999996×2.11239660626861e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.11239660626861e-05×40589641000000     		ar = 1473923.0240677m²