Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16826 / 16956
↖ ↑ ↗
← S  6.271618°
E  4.855957°		 ← 1 214.33 m → S  6.271618°
E  4.866944°		 →
↑
1 214.31 m
↓
↑
1 214.31 m
↓
S  6.282538°
E  4.855957°		 ← 1 214.30 m →
1 474 558 m²		 S  6.282538°
E  4.866944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513504028320312 y=0.517471313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513504028320312 × 215)
    floor (0.513504028320312 × 32768)
    floor (16826.5)     		tx = 16826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517471313476562 × 215)
    floor (0.517471313476562 × 32768)
    floor (16956.5)     		ty = 16956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16826 / 16956 ti = "15/16826/16956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16826/16956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16826 ÷ 215
    16826 ÷ 32768     		x = 0.51348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16956 ÷ 215
    16956 ÷ 32768     		y = 0.5174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51348876953125 × 2 - 1) × π
    0.0269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08475244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    -0.034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.109679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08475244} λ = 0.08475244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109679626330688))-π/2
    2×atan(0.896121182944347)-π/2
    2×0.730667971074082-π/2
    1.46133594214816-1.57079632675     		φ = -0.10946038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08475244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10946038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.271618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16826 KachelY 16956 0.08475244 -0.10946038 4.855957 -6.271618
    Oben rechts KachelX + 1 16827 KachelY 16956 0.08494419 -0.10946038 4.866944 -6.271618
    Unten links KachelX 16826 KachelY + 1 16957 0.08475244 -0.10965098 4.855957 -6.282538
    Unten rechts KachelX + 1 16827 KachelY + 1 16957 0.08494419 -0.10965098 4.866944 -6.282538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10946038--0.10965098) × R
    0.000190599999999999 × 6371000     		dl = 1214.31259999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10946038--0.10965098) × R
    0.000190599999999999 × 6371000     		dr = 1214.31259999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08475244-0.08494419) × cos(-0.10946038) × R
    0.000191750000000004 × 0.994015191805612 × 6371000     		do = 1214.32797340604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08475244-0.08494419) × cos(-0.10965098) × R
    0.000191750000000004 × 0.993994352239116 × 6371000     		du = 1214.30251497366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10946038)-sin(-0.10965098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994015191805612-0.993994352239116)×R²
    abs(0.08494419-0.08475244)×2.08395664957894e-05×R²
    0.000191750000000004×2.08395664957894e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.08395664957894e-05×40589641000000     		ar = 1474558.30585582m²