Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1679 / 1907
↖ ↑ ↗
← S 82.379148°
E115.136719°		 ← 2 592.13 m → S 82.379148°
E115.312500°		 →
↑
2 588.16 m
↓
↑
2 588.16 m
↓
S 82.402423°
E115.136719°		 ← 2 584.26 m →
6 698 652 m²		 S 82.402423°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820068359375 y=0.931396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820068359375 × 211)
    floor (0.820068359375 × 2048)
    floor (1679.5)     		tx = 1679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931396484375 × 211)
    floor (0.931396484375 × 2048)
    floor (1907.5)     		ty = 1907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1679 / 1907 ti = "11/1679/1907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1679/1907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1679 ÷ 211
    1679 ÷ 2048     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1907 ÷ 211
    1907 ÷ 2048     		y = 0.93115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93115234375 × 2 - 1) × π
    -0.8623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70901007132861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70901007132861))-π/2
    2×atan(0.0666027060201108)-π/2
    2×0.0665044858707405-π/2
    0.133008971741481-1.57079632675     		φ = -1.43778736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43778736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.379148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1679 KachelY 1907 2.00951483 -1.43778736 115.136719 -82.379148
    Oben rechts KachelX + 1 1680 KachelY 1907 2.01258279 -1.43778736 115.312500 -82.379148
    Unten links KachelX 1679 KachelY + 1 1908 2.00951483 -1.43819360 115.136719 -82.402423
    Unten rechts KachelX + 1 1680 KachelY + 1 1908 2.01258279 -1.43819360 115.312500 -82.402423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43778736--1.43819360) × R
    0.000406240000000002 × 6371000     		dl = 2588.15504000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43778736--1.43819360) × R
    0.000406240000000002 × 6371000     		dr = 2588.15504000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.01258279) × cos(-1.43778736) × R
    0.00306796000000009 × 0.132617128085192 × 6371000     		do = 2592.13082610953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.01258279) × cos(-1.43819360) × R
    0.00306796000000009 × 0.132214465332803 × 6371000     		du = 2584.2603907588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43778736)-sin(-1.43819360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132617128085192-0.132214465332803)×R²
    abs(2.01258279-2.00951483)×0.00040266275238926×R²
    0.00306796000000009×0.00040266275238926×6371000²
    0.00306796000000009×0.00040266275238926×40589641000000     		ar = 6698651.6005985m²