Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16775 / 10877
↖ ↑ ↗
← N 51.638476°
E  4.295654°		 ← 758.18 m → N 51.638476°
E  4.306641°		 →
↑
758.21 m
↓
↑
758.21 m
↓
N 51.631657°
E  4.295654°		 ← 758.29 m →
574 901 m²		 N 51.631657°
E  4.306641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511947631835938 y=0.331954956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511947631835938 × 215)
    floor (0.511947631835938 × 32768)
    floor (16775.5)     		tx = 16775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331954956054688 × 215)
    floor (0.331954956054688 × 32768)
    floor (10877.5)     		ty = 10877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16775 / 10877 ti = "15/16775/10877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16775/10877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16775 ÷ 215
    16775 ÷ 32768     		x = 0.511932373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10877 ÷ 215
    10877 ÷ 32768     		y = 0.331939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511932373046875 × 2 - 1) × π
    0.02386474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07497331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331939697265625 × 2 - 1) × π
    0.33612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0559540248306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07497331} λ = 0.07497331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0559540248306))-π/2
    2×atan(2.87471639691006)-π/2
    2×1.23602887869374-π/2
    2.47205775738749-1.57079632675     		φ = 0.90126143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07497331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.295654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90126143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.638476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16775 KachelY 10877 0.07497331 0.90126143 4.295654 51.638476
    Oben rechts KachelX + 1 16776 KachelY 10877 0.07516506 0.90126143 4.306641 51.638476
    Unten links KachelX 16775 KachelY + 1 10878 0.07497331 0.90114242 4.295654 51.631657
    Unten rechts KachelX + 1 16776 KachelY + 1 10878 0.07516506 0.90114242 4.306641 51.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90126143-0.90114242) × R
    0.00011901000000003 × 6371000     		dl = 758.212710000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90126143-0.90114242) × R
    0.00011901000000003 × 6371000     		dr = 758.212710000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07497331-0.07516506) × cos(0.90126143) × R
    0.000191750000000004 × 0.620621361914522 × 6371000     		do = 758.175415103252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07497331-0.07516506) × cos(0.90114242) × R
    0.000191750000000004 × 0.620714674498393 × 6371000     		du = 758.289409418229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90126143)-sin(0.90114242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620621361914522-0.620714674498393)×R²
    abs(0.07516506-0.07497331)×9.33125838716853e-05×R²
    0.000191750000000004×9.33125838716853e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.33125838716853e-05×40589641000000     		ar = 574901.452788564m²