Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16774 / 10878
↖ ↑ ↗
← N 51.631657°
E  4.284668°		 ← 758.29 m → N 51.631657°
E  4.295654°		 →
↑
758.34 m
↓
↑
758.34 m
↓
N 51.624837°
E  4.284668°		 ← 758.40 m →
575 085 m²		 N 51.624837°
E  4.295654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511917114257812 y=0.331985473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511917114257812 × 215)
    floor (0.511917114257812 × 32768)
    floor (16774.5)     		tx = 16774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331985473632812 × 215)
    floor (0.331985473632812 × 32768)
    floor (10878.5)     		ty = 10878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16774 / 10878 ti = "15/16774/10878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16774/10878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16774 ÷ 215
    16774 ÷ 32768     		x = 0.51190185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10878 ÷ 215
    10878 ÷ 32768     		y = 0.33197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51190185546875 × 2 - 1) × π
    0.0238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07478156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33197021484375 × 2 - 1) × π
    0.3360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05576227723212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07478156} λ = 0.07478156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05576227723212))-π/2
    2×atan(2.87416522978881)-π/2
    2×1.2359693728928-π/2
    2.4719387457856-1.57079632675     		φ = 0.90114242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07478156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.284668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90114242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.631657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16774 KachelY 10878 0.07478156 0.90114242 4.284668 51.631657
    Oben rechts KachelX + 1 16775 KachelY 10878 0.07497331 0.90114242 4.295654 51.631657
    Unten links KachelX 16774 KachelY + 1 10879 0.07478156 0.90102339 4.284668 51.624837
    Unten rechts KachelX + 1 16775 KachelY + 1 10879 0.07497331 0.90102339 4.295654 51.624837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90114242-0.90102339) × R
    0.00011903000000002 × 6371000     		dl = 758.340130000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90114242-0.90102339) × R
    0.00011903000000002 × 6371000     		dr = 758.340130000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07478156-0.07497331) × cos(0.90114242) × R
    0.000191750000000004 × 0.620714674498393 × 6371000     		do = 758.289409418229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07478156-0.07497331) × cos(0.90102339) × R
    0.000191750000000004 × 0.6208079939701 × 6371000     		du = 758.403412147655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90114242)-sin(0.90102339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620714674498393-0.6208079939701)×R²
    abs(0.07497331-0.07478156)×9.33194717070984e-05×R²
    0.000191750000000004×9.33194717070984e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.33194717070984e-05×40589641000000     		ar = 575084.516417232m²