Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16773 / 10876
↖ ↑ ↗
← N 51.645294°
E  4.273682°		 ← 758.02 m → N 51.645294°
E  4.284668°		 →
↑
758.09 m
↓
↑
758.09 m
↓
N 51.638476°
E  4.273682°		 ← 758.14 m →
574 688 m²		 N 51.638476°
E  4.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511886596679688 y=0.331924438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511886596679688 × 215)
    floor (0.511886596679688 × 32768)
    floor (16773.5)     		tx = 16773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331924438476562 × 215)
    floor (0.331924438476562 × 32768)
    floor (10876.5)     		ty = 10876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16773 / 10876 ti = "15/16773/10876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16773/10876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16773 ÷ 215
    16773 ÷ 32768     		x = 0.511871337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10876 ÷ 215
    10876 ÷ 32768     		y = 0.3319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511871337890625 × 2 - 1) × π
    0.02374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07458982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3319091796875 × 2 - 1) × π
    0.336181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05614577242908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07458982} λ = 0.07458982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05614577242908))-π/2
    2×atan(2.87526766972641)-π/2
    2×1.23608837554859-π/2
    2.47217675109718-1.57079632675     		φ = 0.90138042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07458982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.273682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90138042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.645294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16773 KachelY 10876 0.07458982 0.90138042 4.273682 51.645294
    Oben rechts KachelX + 1 16774 KachelY 10876 0.07478156 0.90138042 4.284668 51.645294
    Unten links KachelX 16773 KachelY + 1 10877 0.07458982 0.90126143 4.273682 51.638476
    Unten rechts KachelX + 1 16774 KachelY + 1 10877 0.07478156 0.90126143 4.284668 51.638476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90138042-0.90126143) × R
    0.00011898999999993 × 6371000     		dl = 758.085289999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90138042-0.90126143) × R
    0.00011898999999993 × 6371000     		dr = 758.085289999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07458982-0.07478156) × cos(0.90138042) × R
    0.000191739999999996 × 0.620528056224239 × 6371000     		do = 758.021895367258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07458982-0.07478156) × cos(0.90126143) × R
    0.000191739999999996 × 0.620621361914522 × 6371000     		du = 758.135875316251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90138042)-sin(0.90126143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620528056224239-0.620621361914522)×R²
    abs(0.07478156-0.07458982)×9.33056902828744e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33056902828744e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33056902828744e-05×40589641000000     		ar = 574688.45231521m²